Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19088 / 14736
↖ ↑ ↗
← N 17.811456°
E 29.707031°		 ← 1 163.02 m → N 17.811456°
E 29.718017°		 →
↑
1 163.09 m
↓
↑
1 163.09 m
↓
N 17.800996°
E 29.707031°		 ← 1 163.09 m →
1 352 740 m²		 N 17.800996°
E 29.718017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582534790039062 y=0.449722290039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582534790039062 × 215)
    floor (0.582534790039062 × 32768)
    floor (19088.5)     		tx = 19088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449722290039062 × 215)
    floor (0.449722290039062 × 32768)
    floor (14736.5)     		ty = 14736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19088 / 14736 ti = "15/19088/14736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19088/14736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19088 ÷ 215
    19088 ÷ 32768     		x = 0.58251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14736 ÷ 215
    14736 ÷ 32768     		y = 0.44970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58251953125 × 2 - 1) × π
    0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44970703125 × 2 - 1) × π
    0.1005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.31600004229541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51848551} λ = 0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31600004229541))-π/2
    2×atan(1.37163031363971)-π/2
    2×0.940832440053069-π/2
    1.88166488010614-1.57079632675     		φ = 0.31086855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31086855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.811456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19088 KachelY 14736 0.51848551 0.31086855 29.707031 17.811456
    Oben rechts KachelX + 1 19089 KachelY 14736 0.51867725 0.31086855 29.718017 17.811456
    Unten links KachelX 19088 KachelY + 1 14737 0.51848551 0.31068599 29.707031 17.800996
    Unten rechts KachelX + 1 19089 KachelY + 1 14737 0.51867725 0.31068599 29.718017 17.800996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31086855-0.31068599) × R
    0.000182559999999998 × 6371000     		dl = 1163.08975999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31086855-0.31068599) × R
    0.000182559999999998 × 6371000     		dr = 1163.08975999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51848551-0.51867725) × cos(0.31086855) × R
    0.000191739999999996 × 0.952068252030094 × 6371000     		do = 1163.02328909049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51848551-0.51867725) × cos(0.31068599) × R
    0.000191739999999996 × 0.95212407865247 × 6371000     		du = 1163.09148552687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31086855)-sin(0.31068599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952068252030094-0.95212407865247)×R²
    abs(0.51867725-0.51848551)×5.58266223754655e-05×R²
    0.000191739999999996×5.58266223754655e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.58266223754655e-05×40589641000000     		ar = 1352740.14122823m²