Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19087 / 15497
↖ ↑ ↗
← N  9.698228°
E 29.696045°		 ← 1 204.18 m → N  9.698228°
E 29.707031°		 →
↑
1 204.18 m
↓
↑
1 204.18 m
↓
N  9.687399°
E 29.696045°		 ← 1 204.22 m →
1 450 077 m²		 N  9.687399°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582504272460938 y=0.472946166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582504272460938 × 215)
    floor (0.582504272460938 × 32768)
    floor (19087.5)     		tx = 19087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.472946166992188 × 215)
    floor (0.472946166992188 × 32768)
    floor (15497.5)     		ty = 15497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19087 / 15497 ti = "15/19087/15497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19087/15497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19087 ÷ 215
    19087 ÷ 32768     		x = 0.582489013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15497 ÷ 215
    15497 ÷ 32768     		y = 0.472930908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582489013671875 × 2 - 1) × π
    0.16497802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51829376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.472930908203125 × 2 - 1) × π
    0.05413818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.170080119851959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51829376} λ = 0.51829376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.170080119851959))-π/2
    2×atan(1.18539982157403)-π/2
    2×0.870031167841542-π/2
    1.74006233568308-1.57079632675     		φ = 0.16926601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51829376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.696045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16926601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.698228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19087 KachelY 15497 0.51829376 0.16926601 29.696045 9.698228
    Oben rechts KachelX + 1 19088 KachelY 15497 0.51848551 0.16926601 29.707031 9.698228
    Unten links KachelX 19087 KachelY + 1 15498 0.51829376 0.16907700 29.696045 9.687399
    Unten rechts KachelX + 1 19088 KachelY + 1 15498 0.51848551 0.16907700 29.707031 9.687399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16926601-0.16907700) × R
    0.000189009999999989 × 6371000     		dl = 1204.18270999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16926601-0.16907700) × R
    0.000189009999999989 × 6371000     		dr = 1204.18270999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51829376-0.51848551) × cos(0.16926601) × R
    0.000191749999999935 × 0.985708679563195 × 6371000     		do = 1204.18041201966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51829376-0.51848551) × cos(0.16907700) × R
    0.000191749999999935 × 0.985740502371485 × 6371000     		du = 1204.21928801132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16926601)-sin(0.16907700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985708679563195-0.985740502371485)×R²
    abs(0.51848551-0.51829376)×3.18228082896166e-05×R²
    0.000191749999999935×3.18228082896166e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.18228082896166e-05×40589641000000     		ar = 1450076.64309014m²