Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19087 / 14684
↖ ↑ ↗
← N 18.354525°
E 29.696045°		 ← 1 159.49 m → N 18.354525°
E 29.707031°		 →
↑
1 159.52 m
↓
↑
1 159.52 m
↓
N 18.344098°
E 29.696045°		 ← 1 159.56 m →
1 344 495 m²		 N 18.344098°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582504272460938 y=0.448135375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582504272460938 × 215)
    floor (0.582504272460938 × 32768)
    floor (19087.5)     		tx = 19087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448135375976562 × 215)
    floor (0.448135375976562 × 32768)
    floor (14684.5)     		ty = 14684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19087 / 14684 ti = "15/19087/14684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19087/14684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19087 ÷ 215
    19087 ÷ 32768     		x = 0.582489013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14684 ÷ 215
    14684 ÷ 32768     		y = 0.4481201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582489013671875 × 2 - 1) × π
    0.16497802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51829376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4481201171875 × 2 - 1) × π
    0.103759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.325970917416382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51829376} λ = 0.51829376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325970917416382))-π/2
    2×atan(1.38537507800036)-π/2
    2×0.945571614955334-π/2
    1.89114322991067-1.57079632675     		φ = 0.32034690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51829376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.696045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32034690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.354525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19087 KachelY 14684 0.51829376 0.32034690 29.696045 18.354525
    Oben rechts KachelX + 1 19088 KachelY 14684 0.51848551 0.32034690 29.707031 18.354525
    Unten links KachelX 19087 KachelY + 1 14685 0.51829376 0.32016490 29.696045 18.344098
    Unten rechts KachelX + 1 19088 KachelY + 1 14685 0.51848551 0.32016490 29.707031 18.344098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32034690-0.32016490) × R
    0.000182000000000015 × 6371000     		dl = 1159.5220000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32034690-0.32016490) × R
    0.000182000000000015 × 6371000     		dr = 1159.5220000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51829376-0.51848551) × cos(0.32034690) × R
    0.000191749999999935 × 0.949126237829442 × 6371000     		do = 1159.48986533689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51829376-0.51848551) × cos(0.32016490) × R
    0.000191749999999935 × 0.949183533151021 × 6371000     		du = 1159.55985955057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32034690)-sin(0.32016490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949126237829442-0.949183533151021)×R²
    abs(0.51848551-0.51829376)×5.72953215784988e-05×R²
    0.000191749999999935×5.72953215784988e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.72953215784988e-05×40589641000000     		ar = 1344494.59126194m²