Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19087 / 14574
↖ ↑ ↗
← N 19.497664°
E 29.696045°		 ← 1 151.58 m → N 19.497664°
E 29.707031°		 →
↑
1 151.62 m
↓
↑
1 151.62 m
↓
N 19.487308°
E 29.696045°		 ← 1 151.66 m →
1 326 232 m²		 N 19.487308°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582504272460938 y=0.444778442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582504272460938 × 215)
    floor (0.582504272460938 × 32768)
    floor (19087.5)     		tx = 19087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444778442382812 × 215)
    floor (0.444778442382812 × 32768)
    floor (14574.5)     		ty = 14574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19087 / 14574 ti = "15/19087/14574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19087/14574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19087 ÷ 215
    19087 ÷ 32768     		x = 0.582489013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14574 ÷ 215
    14574 ÷ 32768     		y = 0.44476318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582489013671875 × 2 - 1) × π
    0.16497802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51829376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44476318359375 × 2 - 1) × π
    0.1104736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.347063153249207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51829376} λ = 0.51829376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.347063153249207))-π/2
    2×atan(1.41490607846511)-π/2
    2×0.955547381483847-π/2
    1.91109476296769-1.57079632675     		φ = 0.34029844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51829376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.696045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34029844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.497664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19087 KachelY 14574 0.51829376 0.34029844 29.696045 19.497664
    Oben rechts KachelX + 1 19088 KachelY 14574 0.51848551 0.34029844 29.707031 19.497664
    Unten links KachelX 19087 KachelY + 1 14575 0.51829376 0.34011768 29.696045 19.487308
    Unten rechts KachelX + 1 19088 KachelY + 1 14575 0.51848551 0.34011768 29.707031 19.487308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34029844-0.34011768) × R
    0.000180760000000002 × 6371000     		dl = 1151.62196000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34029844-0.34011768) × R
    0.000180760000000002 × 6371000     		dr = 1151.62196000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51829376-0.51848551) × cos(0.34029844) × R
    0.000191749999999935 × 0.942655097658148 × 6371000     		do = 1151.58446651139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51829376-0.51848551) × cos(0.34011768) × R
    0.000191749999999935 × 0.942715414239526 × 6371000     		du = 1151.65815161462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34029844)-sin(0.34011768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942655097658148-0.942715414239526)×R²
    abs(0.51848551-0.51829376)×6.03165813782836e-05×R²
    0.000191749999999935×6.03165813782836e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.03165813782836e-05×40589641000000     		ar = 1326232.39273216m²