Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19087 / 12805
↖ ↑ ↗
← N 80.870649°
W127.575989°		 ← 48.46 m → N 80.870649°
W127.573242°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
N 80.870213°
W127.575989°		 ← 48.46 m →
2 350 m²		 N 80.870213°
W127.573242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145626068115234 y=0.0976982116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145626068115234 × 217)
    floor (0.145626068115234 × 131072)
    floor (19087.5)     		tx = 19087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0976982116699219 × 217)
    floor (0.0976982116699219 × 131072)
    floor (12805.5)     		ty = 12805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19087 / 12805 ti = "17/19087/12805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19087/12805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19087 ÷ 217
    19087 ÷ 131072     		x = 0.145622253417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12805 ÷ 217
    12805 ÷ 131072     		y = 0.0976943969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145622253417969 × 2 - 1) × π
    -0.708755493164062 × 3.1415926535     		Λ = -2.22662105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0976943969726562 × 2 - 1) × π
    0.804611206054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.52776065386518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22662105} λ = -2.22662105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52776065386518))-π/2
    2×atan(12.525425943593)-π/2
    2×1.49112770615504-π/2
    2.98225541231008-1.57079632675     		φ = 1.41145909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22662105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.575989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41145909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.870649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19087 KachelY 12805 -2.22662105 1.41145909 -127.575989 80.870649
    Oben rechts KachelX + 1 19088 KachelY 12805 -2.22657311 1.41145909 -127.573242 80.870649
    Unten links KachelX 19087 KachelY + 1 12806 -2.22662105 1.41145148 -127.575989 80.870213
    Unten rechts KachelX + 1 19088 KachelY + 1 12806 -2.22657311 1.41145148 -127.573242 80.870213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41145909-1.41145148) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dl = 48.4833099995905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41145909-1.41145148) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dr = 48.4833099995905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22662105--2.22657311) × cos(1.41145909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158663873752988 × 6371000     		do = 48.4600310522411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22662105--2.22657311) × cos(1.41145148) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158671387349911 × 6371000     		du = 48.4623258981416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41145909)-sin(1.41145148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158663873752988-0.158671387349911)×R²
    abs(-2.22657311--2.22662105)×7.51359692377496e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.51359692377496e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.51359692377496e-06×40589641000000     		ar = 2349.55833888923m²