Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19084 / 14678
↖ ↑ ↗
← N 18.417079°
E 29.663086°		 ← 1 159.01 m → N 18.417079°
E 29.674072°		 →
↑
1 159.08 m
↓
↑
1 159.08 m
↓
N 18.406655°
E 29.663086°		 ← 1 159.08 m →
1 343 420 m²		 N 18.406655°
E 29.674072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582412719726562 y=0.447952270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582412719726562 × 215)
    floor (0.582412719726562 × 32768)
    floor (19084.5)     		tx = 19084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447952270507812 × 215)
    floor (0.447952270507812 × 32768)
    floor (14678.5)     		ty = 14678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19084 / 14678 ti = "15/19084/14678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19084/14678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19084 ÷ 215
    19084 ÷ 32768     		x = 0.5823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14678 ÷ 215
    14678 ÷ 32768     		y = 0.44793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5823974609375 × 2 - 1) × π
    0.164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51771852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44793701171875 × 2 - 1) × π
    0.1041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.327121403007263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51771852} λ = 0.51771852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.327121403007263))-π/2
    2×atan(1.38696984927034)-π/2
    2×0.946117493989223-π/2
    1.89223498797845-1.57079632675     		φ = 0.32143866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51771852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.663086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32143866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.417079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19084 KachelY 14678 0.51771852 0.32143866 29.663086 18.417079
    Oben rechts KachelX + 1 19085 KachelY 14678 0.51791026 0.32143866 29.674072 18.417079
    Unten links KachelX 19084 KachelY + 1 14679 0.51771852 0.32125673 29.663086 18.406655
    Unten rechts KachelX + 1 19085 KachelY + 1 14679 0.51791026 0.32125673 29.674072 18.406655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32143866-0.32125673) × R
    0.000181929999999997 × 6371000     		dl = 1159.07602999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32143866-0.32125673) × R
    0.000181929999999997 × 6371000     		dr = 1159.07602999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51771852-0.51791026) × cos(0.32143866) × R
    0.000191739999999996 × 0.948781881574137 × 6371000     		do = 1159.00873932612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51771852-0.51791026) × cos(0.32125673) × R
    0.000191739999999996 × 0.948839343355767 × 6371000     		du = 1159.07893323304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32143866)-sin(0.32125673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948781881574137-0.948839343355767)×R²
    abs(0.51791026-0.51771852)×5.74617816300194e-05×R²
    0.000191739999999996×5.74617816300194e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.74617816300194e-05×40589641000000     		ar = 1343419.93205611m²