Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19083 / 10916
↖ ↑ ↗
← N 81.658092°
W127.586975°		 ← 44.31 m → N 81.658092°
W127.584228°		 →
↑
44.34 m
↓
↑
44.34 m
↓
N 81.657693°
W127.586975°		 ← 44.31 m →
1 965 m²		 N 81.657693°
W127.584228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145595550537109 y=0.0832862854003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145595550537109 × 217)
    floor (0.145595550537109 × 131072)
    floor (19083.5)     		tx = 19083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0832862854003906 × 217)
    floor (0.0832862854003906 × 131072)
    floor (10916.5)     		ty = 10916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19083 / 10916 ti = "17/19083/10916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19083/10916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19083 ÷ 217
    19083 ÷ 131072     		x = 0.145591735839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10916 ÷ 217
    10916 ÷ 131072     		y = 0.083282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145591735839844 × 2 - 1) × π
    -0.708816528320312 × 3.1415926535     		Λ = -2.22681280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083282470703125 × 2 - 1) × π
    0.83343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.61831345724747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22681280} λ = -2.22681280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61831345724747))-π/2
    2×atan(13.7125772241648)-π/2
    2×1.49799944134357-π/2
    2.99599888268714-1.57079632675     		φ = 1.42520256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22681280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.586975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42520256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.658092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19083 KachelY 10916 -2.22681280 1.42520256 -127.586975 81.658092
    Oben rechts KachelX + 1 19084 KachelY 10916 -2.22676486 1.42520256 -127.584228 81.658092
    Unten links KachelX 19083 KachelY + 1 10917 -2.22681280 1.42519560 -127.586975 81.657693
    Unten rechts KachelX + 1 19084 KachelY + 1 10917 -2.22676486 1.42519560 -127.584228 81.657693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42520256-1.42519560) × R
    6.96000000011132e-06 × 6371000     		dl = 44.3421600007092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42520256-1.42519560) × R
    6.96000000011132e-06 × 6371000     		dr = 44.3421600007092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22681280--2.22676486) × cos(1.42520256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145079939955211 × 6371000     		do = 44.3111480199468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22681280--2.22676486) × cos(1.42519560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145086826314456 × 6371000     		du = 44.3132512913152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42520256)-sin(1.42519560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145079939955211-0.145086826314456)×R²
    abs(-2.22676486--2.22681280)×6.88635924511738e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.88635924511738e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.88635924511738e-06×40589641000000     		ar = 1964.89864718699m²