Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19082 / 14683
↖ ↑ ↗
← N 18.364953°
E 29.641113°		 ← 1 159.42 m → N 18.364953°
E 29.652100°		 →
↑
1 159.46 m
↓
↑
1 159.46 m
↓
N 18.354525°
E 29.641113°		 ← 1 159.49 m →
1 344 340 m²		 N 18.354525°
E 29.652100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582351684570312 y=0.448104858398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582351684570312 × 215)
    floor (0.582351684570312 × 32768)
    floor (19082.5)     		tx = 19082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448104858398438 × 215)
    floor (0.448104858398438 × 32768)
    floor (14683.5)     		ty = 14683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19082 / 14683 ti = "15/19082/14683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19082/14683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19082 ÷ 215
    19082 ÷ 32768     		x = 0.58233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14683 ÷ 215
    14683 ÷ 32768     		y = 0.448089599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58233642578125 × 2 - 1) × π
    0.1646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51733502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448089599609375 × 2 - 1) × π
    0.10382080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.326162665014862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51733502} λ = 0.51733502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.326162665014862))-π/2
    2×atan(1.38564074581433)-π/2
    2×0.945662608545969-π/2
    1.89132521709194-1.57079632675     		φ = 0.32052889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51733502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.641113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32052889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.364953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19082 KachelY 14683 0.51733502 0.32052889 29.641113 18.364953
    Oben rechts KachelX + 1 19083 KachelY 14683 0.51752677 0.32052889 29.652100 18.364953
    Unten links KachelX 19082 KachelY + 1 14684 0.51733502 0.32034690 29.641113 18.354525
    Unten rechts KachelX + 1 19083 KachelY + 1 14684 0.51752677 0.32034690 29.652100 18.354525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32052889-0.32034690) × R
    0.000181990000000021 × 6371000     		dl = 1159.45829000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32052889-0.32034690) × R
    0.000181990000000021 × 6371000     		dr = 1159.45829000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51733502-0.51752677) × cos(0.32052889) × R
    0.000191750000000046 × 0.949068914219692 × 6371000     		do = 1159.41983656594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51733502-0.51752677) × cos(0.32034690) × R
    0.000191750000000046 × 0.949126237829442 × 6371000     		du = 1159.48986533756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32052889)-sin(0.32034690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949068914219692-0.949126237829442)×R²
    abs(0.51752677-0.51733502)×5.73236097504148e-05×R²
    0.000191750000000046×5.73236097504148e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.73236097504148e-05×40589641000000     		ar = 1344339.54252741m²