Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19082 / 14670
↖ ↑ ↗
← N 18.500447°
E 29.641113°		 ← 1 158.51 m → N 18.500447°
E 29.652100°		 →
↑
1 158.50 m
↓
↑
1 158.50 m
↓
N 18.490029°
E 29.641113°		 ← 1 158.58 m →
1 342 174 m²		 N 18.490029°
E 29.652100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582351684570312 y=0.447708129882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582351684570312 × 215)
    floor (0.582351684570312 × 32768)
    floor (19082.5)     		tx = 19082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447708129882812 × 215)
    floor (0.447708129882812 × 32768)
    floor (14670.5)     		ty = 14670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19082 / 14670 ti = "15/19082/14670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19082/14670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19082 ÷ 215
    19082 ÷ 32768     		x = 0.58233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14670 ÷ 215
    14670 ÷ 32768     		y = 0.44769287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58233642578125 × 2 - 1) × π
    0.1646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51733502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44769287109375 × 2 - 1) × π
    0.1046142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.328655383795105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51733502} λ = 0.51733502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.328655383795105))-π/2
    2×atan(1.3890990670445)-π/2
    2×0.946845024014298-π/2
    1.8936900480286-1.57079632675     		φ = 0.32289372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51733502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.641113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32289372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.500447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19082 KachelY 14670 0.51733502 0.32289372 29.641113 18.500447
    Oben rechts KachelX + 1 19083 KachelY 14670 0.51752677 0.32289372 29.652100 18.500447
    Unten links KachelX 19082 KachelY + 1 14671 0.51733502 0.32271188 29.641113 18.490029
    Unten rechts KachelX + 1 19083 KachelY + 1 14671 0.51752677 0.32271188 29.652100 18.490029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32289372-0.32271188) × R
    0.000181839999999989 × 6371000     		dl = 1158.50263999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32289372-0.32271188) × R
    0.000181839999999989 × 6371000     		dr = 1158.50263999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51733502-0.51752677) × cos(0.32289372) × R
    0.000191750000000046 × 0.948321177541623 × 6371000     		do = 1158.50637209134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51733502-0.51752677) × cos(0.32271188) × R
    0.000191750000000046 × 0.948378861888034 × 6371000     		du = 1158.57684155303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32289372)-sin(0.32271188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948321177541623-0.948378861888034)×R²
    abs(0.51752677-0.51733502)×5.76843464106247e-05×R²
    0.000191750000000046×5.76843464106247e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.76843464106247e-05×40589641000000     		ar = 1342173.51375148m²