Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19081 / 14985
↖ ↑ ↗
← N 15.188784°
E 29.630127°		 ← 1 178.96 m → N 15.188784°
E 29.641113°		 →
↑
1 179.02 m
↓
↑
1 179.02 m
↓
N 15.178181°
E 29.630127°		 ← 1 179.02 m →
1 390 055 m²		 N 15.178181°
E 29.641113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582321166992188 y=0.457321166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582321166992188 × 215)
    floor (0.582321166992188 × 32768)
    floor (19081.5)     		tx = 19081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457321166992188 × 215)
    floor (0.457321166992188 × 32768)
    floor (14985.5)     		ty = 14985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19081 / 14985 ti = "15/19081/14985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19081/14985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19081 ÷ 215
    19081 ÷ 32768     		x = 0.582305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14985 ÷ 215
    14985 ÷ 32768     		y = 0.457305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582305908203125 × 2 - 1) × π
    0.16461181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51714327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457305908203125 × 2 - 1) × π
    0.08538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.268254890273834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51714327} λ = 0.51714327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.268254890273834))-π/2
    2×atan(1.30768041255761)-π/2
    2×0.91794530641617-π/2
    1.83589061283234-1.57079632675     		φ = 0.26509429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51714327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.630127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26509429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.188784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19081 KachelY 14985 0.51714327 0.26509429 29.630127 15.188784
    Oben rechts KachelX + 1 19082 KachelY 14985 0.51733502 0.26509429 29.641113 15.188784
    Unten links KachelX 19081 KachelY + 1 14986 0.51714327 0.26490923 29.630127 15.178181
    Unten rechts KachelX + 1 19082 KachelY + 1 14986 0.51733502 0.26490923 29.641113 15.178181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26509429-0.26490923) × R
    0.000185060000000015 × 6371000     		dl = 1179.01726000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26509429-0.26490923) × R
    0.000185060000000015 × 6371000     		dr = 1179.01726000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51714327-0.51733502) × cos(0.26509429) × R
    0.000191749999999935 × 0.965067801166345 × 6371000     		do = 1178.9647048156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51714327-0.51733502) × cos(0.26490923) × R
    0.000191749999999935 × 0.965116270409776 × 6371000     		du = 1179.0239167458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26509429)-sin(0.26490923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965067801166345-0.965116270409776)×R²
    abs(0.51733502-0.51714327)×4.84692434306044e-05×R²
    0.000191749999999935×4.84692434306044e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.84692434306044e-05×40589641000000     		ar = 1390054.64581916m²