Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19081 / 14673
↖ ↑ ↗
← N 18.469189°
E 29.630127°		 ← 1 158.72 m → N 18.469189°
E 29.641113°		 →
↑
1 158.76 m
↓
↑
1 158.76 m
↓
N 18.458768°
E 29.630127°		 ← 1 158.79 m →
1 342 714 m²		 N 18.458768°
E 29.641113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582321166992188 y=0.447799682617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582321166992188 × 215)
    floor (0.582321166992188 × 32768)
    floor (19081.5)     		tx = 19081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447799682617188 × 215)
    floor (0.447799682617188 × 32768)
    floor (14673.5)     		ty = 14673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19081 / 14673 ti = "15/19081/14673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19081/14673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19081 ÷ 215
    19081 ÷ 32768     		x = 0.582305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14673 ÷ 215
    14673 ÷ 32768     		y = 0.447784423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582305908203125 × 2 - 1) × π
    0.16461181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51714327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447784423828125 × 2 - 1) × π
    0.10443115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.328080140999664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51714327} λ = 0.51714327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.328080140999664))-π/2
    2×atan(1.38830022759937)-π/2
    2×0.946572241670443-π/2
    1.89314448334089-1.57079632675     		φ = 0.32234816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51714327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.630127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32234816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.469189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19081 KachelY 14673 0.51714327 0.32234816 29.630127 18.469189
    Oben rechts KachelX + 1 19082 KachelY 14673 0.51733502 0.32234816 29.641113 18.469189
    Unten links KachelX 19081 KachelY + 1 14674 0.51714327 0.32216628 29.630127 18.458768
    Unten rechts KachelX + 1 19082 KachelY + 1 14674 0.51733502 0.32216628 29.641113 18.458768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32234816-0.32216628) × R
    0.000181879999999968 × 6371000     		dl = 1158.75747999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32234816-0.32216628) × R
    0.000181879999999968 × 6371000     		dr = 1158.75747999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51714327-0.51733502) × cos(0.32234816) × R
    0.000191749999999935 × 0.94849414917406 × 6371000     		do = 1158.71768102599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51714327-0.51733502) × cos(0.32216628) × R
    0.000191749999999935 × 0.948551752096063 × 6371000     		du = 1158.78805101643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32234816)-sin(0.32216628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94849414917406-0.948551752096063)×R²
    abs(0.51733502-0.51714327)×5.7602922003408e-05×R²
    0.000191749999999935×5.7602922003408e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.7602922003408e-05×40589641000000     		ar = 1342713.55467476m²