Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19081 / 14653
↖ ↑ ↗
← N 18.677471°
E 29.630127°		 ← 1 157.30 m → N 18.677471°
E 29.641113°		 →
↑
1 157.36 m
↓
↑
1 157.36 m
↓
N 18.667063°
E 29.630127°		 ← 1 157.37 m →
1 339 453 m²		 N 18.667063°
E 29.641113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582321166992188 y=0.447189331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582321166992188 × 215)
    floor (0.582321166992188 × 32768)
    floor (19081.5)     		tx = 19081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447189331054688 × 215)
    floor (0.447189331054688 × 32768)
    floor (14653.5)     		ty = 14653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19081 / 14653 ti = "15/19081/14653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19081/14653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19081 ÷ 215
    19081 ÷ 32768     		x = 0.582305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14653 ÷ 215
    14653 ÷ 32768     		y = 0.447174072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582305908203125 × 2 - 1) × π
    0.16461181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51714327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447174072265625 × 2 - 1) × π
    0.10565185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.331915092969269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51714327} λ = 0.51714327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.331915092969269))-π/2
    2×atan(1.39363451412036)-π/2
    2×0.948389848096899-π/2
    1.8967796961938-1.57079632675     		φ = 0.32598337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51714327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.630127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32598337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.677471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19081 KachelY 14653 0.51714327 0.32598337 29.630127 18.677471
    Oben rechts KachelX + 1 19082 KachelY 14653 0.51733502 0.32598337 29.641113 18.677471
    Unten links KachelX 19081 KachelY + 1 14654 0.51714327 0.32580171 29.630127 18.667063
    Unten rechts KachelX + 1 19082 KachelY + 1 14654 0.51733502 0.32580171 29.641113 18.667063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32598337-0.32580171) × R
    0.000181659999999972 × 6371000     		dl = 1157.35585999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32598337-0.32580171) × R
    0.000181659999999972 × 6371000     		dr = 1157.35585999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51714327-0.51733502) × cos(0.32598337) × R
    0.000191749999999935 × 0.94733626958774 × 6371000     		do = 1157.30316987657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51714327-0.51733502) × cos(0.32580171) × R
    0.000191749999999935 × 0.947394428849541 × 6371000     		du = 1157.37421951354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32598337)-sin(0.32580171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94733626958774-0.947394428849541)×R²
    abs(0.51733502-0.51714327)×5.81592618011939e-05×R²
    0.000191749999999935×5.81592618011939e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.81592618011939e-05×40589641000000     		ar = 1339452.72399337m²