Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19080 / 15496
↖ ↑ ↗
← N  9.709057°
E 29.619141°		 ← 1 204.08 m → N  9.709057°
E 29.630127°		 →
↑
1 204.12 m
↓
↑
1 204.12 m
↓
N  9.698228°
E 29.619141°		 ← 1 204.12 m →
1 449 877 m²		 N  9.698228°
E 29.630127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582290649414062 y=0.472915649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582290649414062 × 215)
    floor (0.582290649414062 × 32768)
    floor (19080.5)     		tx = 19080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.472915649414062 × 215)
    floor (0.472915649414062 × 32768)
    floor (15496.5)     		ty = 15496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19080 / 15496 ti = "15/19080/15496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19080/15496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19080 ÷ 215
    19080 ÷ 32768     		x = 0.582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15496 ÷ 215
    15496 ÷ 32768     		y = 0.472900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.472900390625 × 2 - 1) × π
    0.05419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.170271867450439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51695153} λ = 0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.170271867450439))-π/2
    2×atan(1.18562714093633)-π/2
    2×0.870125669950758-π/2
    1.74025133990152-1.57079632675     		φ = 0.16945501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16945501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.709057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19080 KachelY 15496 0.51695153 0.16945501 29.619141 9.709057
    Oben rechts KachelX + 1 19081 KachelY 15496 0.51714327 0.16945501 29.630127 9.709057
    Unten links KachelX 19080 KachelY + 1 15497 0.51695153 0.16926601 29.619141 9.698228
    Unten rechts KachelX + 1 19081 KachelY + 1 15497 0.51714327 0.16926601 29.630127 9.698228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16945501-0.16926601) × R
    0.000188999999999995 × 6371000     		dl = 1204.11899999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16945501-0.16926601) × R
    0.000188999999999995 × 6371000     		dr = 1204.11899999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51695153-0.51714327) × cos(0.16945501) × R
    0.000191739999999996 × 0.985676823227132 × 6371000     		do = 1204.07869759914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51695153-0.51714327) × cos(0.16926601) × R
    0.000191739999999996 × 0.985708679563195 × 6371000     		du = 1204.11761252007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16945501)-sin(0.16926601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985676823227132-0.985708679563195)×R²
    abs(0.51714327-0.51695153)×3.18563360632851e-05×R²
    0.000191739999999996×3.18563360632851e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.18563360632851e-05×40589641000000     		ar = 1449877.4706881m²