Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19080 / 14728
↖ ↑ ↗
← N 17.895114°
E 29.619141°		 ← 1 162.48 m → N 17.895114°
E 29.630127°		 →
↑
1 162.52 m
↓
↑
1 162.52 m
↓
N 17.884659°
E 29.619141°		 ← 1 162.54 m →
1 351 438 m²		 N 17.884659°
E 29.630127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582290649414062 y=0.449478149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582290649414062 × 215)
    floor (0.582290649414062 × 32768)
    floor (19080.5)     		tx = 19080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449478149414062 × 215)
    floor (0.449478149414062 × 32768)
    floor (14728.5)     		ty = 14728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19080 / 14728 ti = "15/19080/14728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19080/14728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19080 ÷ 215
    19080 ÷ 32768     		x = 0.582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14728 ÷ 215
    14728 ÷ 32768     		y = 0.449462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449462890625 × 2 - 1) × π
    0.10107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.317534023083252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51695153} λ = 0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.317534023083252))-π/2
    2×atan(1.37373598280397)-π/2
    2×0.941562495703708-π/2
    1.88312499140742-1.57079632675     		φ = 0.31232866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31232866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.895114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19080 KachelY 14728 0.51695153 0.31232866 29.619141 17.895114
    Oben rechts KachelX + 1 19081 KachelY 14728 0.51714327 0.31232866 29.630127 17.895114
    Unten links KachelX 19080 KachelY + 1 14729 0.51695153 0.31214619 29.619141 17.884659
    Unten rechts KachelX + 1 19081 KachelY + 1 14729 0.51714327 0.31214619 29.630127 17.884659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31232866-0.31214619) × R
    0.00018246999999999 × 6371000     		dl = 1162.51636999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31232866-0.31214619) × R
    0.00018246999999999 × 6371000     		dr = 1162.51636999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51695153-0.51714327) × cos(0.31232866) × R
    0.000191739999999996 × 0.951620610595224 × 6371000     		do = 1162.47646126297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51695153-0.51714327) × cos(0.31214619) × R
    0.000191739999999996 × 0.951676663307388 × 6371000     		du = 1162.5449338851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31232866)-sin(0.31214619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951620610595224-0.951676663307388)×R²
    abs(0.51714327-0.51695153)×5.6052712163468e-05×R²
    0.000191739999999996×5.6052712163468e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.6052712163468e-05×40589641000000     		ar = 1351437.71997976m²