Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19080 / 14645
↖ ↑ ↗
← N 18.760713°
E 29.619141°		 ← 1 156.67 m → N 18.760713°
E 29.630127°		 →
↑
1 156.78 m
↓
↑
1 156.78 m
↓
N 18.750310°
E 29.619141°		 ← 1 156.74 m →
1 338 061 m²		 N 18.750310°
E 29.630127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582290649414062 y=0.446945190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582290649414062 × 215)
    floor (0.582290649414062 × 32768)
    floor (19080.5)     		tx = 19080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446945190429688 × 215)
    floor (0.446945190429688 × 32768)
    floor (14645.5)     		ty = 14645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19080 / 14645 ti = "15/19080/14645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19080/14645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19080 ÷ 215
    19080 ÷ 32768     		x = 0.582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14645 ÷ 215
    14645 ÷ 32768     		y = 0.446929931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446929931640625 × 2 - 1) × π
    0.10614013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.333449073757111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51695153} λ = 0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.333449073757111))-π/2
    2×atan(1.39577396320766)-π/2
    2×0.949116267221299-π/2
    1.8982325344426-1.57079632675     		φ = 0.32743621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32743621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.760713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19080 KachelY 14645 0.51695153 0.32743621 29.619141 18.760713
    Oben rechts KachelX + 1 19081 KachelY 14645 0.51714327 0.32743621 29.630127 18.760713
    Unten links KachelX 19080 KachelY + 1 14646 0.51695153 0.32725464 29.619141 18.750310
    Unten rechts KachelX + 1 19081 KachelY + 1 14646 0.51714327 0.32725464 29.630127 18.750310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32743621-0.32725464) × R
    0.00018157000000002 × 6371000     		dl = 1156.78247000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32743621-0.32725464) × R
    0.00018157000000002 × 6371000     		dr = 1156.78247000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51695153-0.51714327) × cos(0.32743621) × R
    0.000191739999999996 × 0.946870011718511 × 6371000     		do = 1156.67324587482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51695153-0.51714327) × cos(0.32725464) × R
    0.000191739999999996 × 0.946928392020261 × 6371000     		du = 1156.74456182346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32743621)-sin(0.32725464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946870011718511-0.946928392020261)×R²
    abs(0.51714327-0.51695153)×5.83803017495388e-05×R²
    0.000191739999999996×5.83803017495388e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.83803017495388e-05×40589641000000     		ar = 1338060.5865419m²