Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19080 / 14642
↖ ↑ ↗
← N 18.791918°
E 29.619141°		 ← 1 156.46 m → N 18.791918°
E 29.630127°		 →
↑
1 156.53 m
↓
↑
1 156.53 m
↓
N 18.781517°
E 29.619141°		 ← 1 156.53 m →
1 337 518 m²		 N 18.781517°
E 29.630127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582290649414062 y=0.446853637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582290649414062 × 215)
    floor (0.582290649414062 × 32768)
    floor (19080.5)     		tx = 19080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446853637695312 × 215)
    floor (0.446853637695312 × 32768)
    floor (14642.5)     		ty = 14642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19080 / 14642 ti = "15/19080/14642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19080/14642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19080 ÷ 215
    19080 ÷ 32768     		x = 0.582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14642 ÷ 215
    14642 ÷ 32768     		y = 0.44683837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44683837890625 × 2 - 1) × π
    0.1063232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.334024316552551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51695153} λ = 0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.334024316552551))-π/2
    2×atan(1.39657710310213)-π/2
    2×0.949388582093348-π/2
    1.8987771641867-1.57079632675     		φ = 0.32798084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32798084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.791918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19080 KachelY 14642 0.51695153 0.32798084 29.619141 18.791918
    Oben rechts KachelX + 1 19081 KachelY 14642 0.51714327 0.32798084 29.630127 18.791918
    Unten links KachelX 19080 KachelY + 1 14643 0.51695153 0.32779931 29.619141 18.781517
    Unten rechts KachelX + 1 19081 KachelY + 1 14643 0.51714327 0.32779931 29.630127 18.781517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32798084-0.32779931) × R
    0.000181529999999985 × 6371000     		dl = 1156.52762999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32798084-0.32779931) × R
    0.000181529999999985 × 6371000     		dr = 1156.52762999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51695153-0.51714327) × cos(0.32798084) × R
    0.000191739999999996 × 0.946694709294984 × 6371000     		do = 1156.45910072214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51695153-0.51714327) × cos(0.32779931) × R
    0.000191739999999996 × 0.946753170347072 × 6371000     		du = 1156.53051531341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32798084)-sin(0.32779931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946694709294984-0.946753170347072)×R²
    abs(0.51714327-0.51695153)×5.84610520878437e-05×R²
    0.000191739999999996×5.84610520878437e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.84610520878437e-05×40589641000000     		ar = 1337518.20309716m²