Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19079 / 10887
↖ ↑ ↗
← N 81.669639°
W127.597962°		 ← 44.25 m → N 81.669639°
W127.595215°		 →
↑
44.21 m
↓
↑
44.21 m
↓
N 81.669241°
W127.597962°		 ← 44.25 m →
1 957 m²		 N 81.669241°
W127.595215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145565032958984 y=0.0830650329589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145565032958984 × 217)
    floor (0.145565032958984 × 131072)
    floor (19079.5)     		tx = 19079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0830650329589844 × 217)
    floor (0.0830650329589844 × 131072)
    floor (10887.5)     		ty = 10887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19079 / 10887 ti = "17/19079/10887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19079/10887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19079 ÷ 217
    19079 ÷ 131072     		x = 0.145561218261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10887 ÷ 217
    10887 ÷ 131072     		y = 0.0830612182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145561218261719 × 2 - 1) × π
    -0.708877563476562 × 3.1415926535     		Λ = -2.22700455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0830612182617188 × 2 - 1) × π
    0.833877563476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.61970362733645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22700455} λ = -2.22700455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61970362733645))-π/2
    2×atan(13.7316532952843)-π/2
    2×1.49810021492123-π/2
    2.99620042984246-1.57079632675     		φ = 1.42540410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22700455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.597962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42540410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.669639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19079 KachelY 10887 -2.22700455 1.42540410 -127.597962 81.669639
    Oben rechts KachelX + 1 19080 KachelY 10887 -2.22695661 1.42540410 -127.595215 81.669639
    Unten links KachelX 19079 KachelY + 1 10888 -2.22700455 1.42539716 -127.597962 81.669241
    Unten rechts KachelX + 1 19080 KachelY + 1 10888 -2.22695661 1.42539716 -127.595215 81.669241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42540410-1.42539716) × R
    6.94000000001083e-06 × 6371000     		dl = 44.214740000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42540410-1.42539716) × R
    6.94000000001083e-06 × 6371000     		dr = 44.214740000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22700455--2.22695661) × cos(1.42540410) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.144880529316075 × 6371000     		do = 44.2502428783348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22700455--2.22695661) × cos(1.42539716) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.144887396089728 × 6371000     		du = 44.2523401677593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42540410)-sin(1.42539716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144880529316075-0.144887396089728)×R²
    abs(-2.22695661--2.22700455)×6.8667736533301e-06×R²
    4.79400000004127e-05×6.8667736533301e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×6.8667736533301e-06×40589641000000     		ar = 1956.5593491575m²