Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19078 / 14726
↖ ↑ ↗
← N 17.916023°
E 29.597168°		 ← 1 162.40 m → N 17.916023°
E 29.608154°		 →
↑
1 162.45 m
↓
↑
1 162.45 m
↓
N 17.905569°
E 29.597168°		 ← 1 162.47 m →
1 351 275 m²		 N 17.905569°
E 29.608154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582229614257812 y=0.449417114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582229614257812 × 215)
    floor (0.582229614257812 × 32768)
    floor (19078.5)     		tx = 19078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449417114257812 × 215)
    floor (0.449417114257812 × 32768)
    floor (14726.5)     		ty = 14726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19078 / 14726 ti = "15/19078/14726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19078/14726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19078 ÷ 215
    19078 ÷ 32768     		x = 0.58221435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14726 ÷ 215
    14726 ÷ 32768     		y = 0.44940185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58221435546875 × 2 - 1) × π
    0.1644287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51656803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44940185546875 × 2 - 1) × π
    0.1011962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.317917518280212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51656803} λ = 0.51656803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.317917518280212))-π/2
    2×atan(1.37426290498487)-π/2
    2×0.941744955915486-π/2
    1.88348991183097-1.57079632675     		φ = 0.31269359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51656803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.597168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31269359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.916023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19078 KachelY 14726 0.51656803 0.31269359 29.597168 17.916023
    Oben rechts KachelX + 1 19079 KachelY 14726 0.51675978 0.31269359 29.608154 17.916023
    Unten links KachelX 19078 KachelY + 1 14727 0.51656803 0.31251113 29.597168 17.905569
    Unten rechts KachelX + 1 19079 KachelY + 1 14727 0.51675978 0.31251113 29.608154 17.905569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31269359-0.31251113) × R
    0.000182459999999995 × 6371000     		dl = 1162.45265999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31269359-0.31251113) × R
    0.000182459999999995 × 6371000     		dr = 1162.45265999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51656803-0.51675978) × cos(0.31269359) × R
    0.000191750000000046 × 0.951508413195508 × 6371000     		do = 1162.40002426513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51656803-0.51675978) × cos(0.31251113) × R
    0.000191750000000046 × 0.951564526198566 × 6371000     		du = 1162.4685741121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31269359)-sin(0.31251113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951508413195508-0.951564526198566)×R²
    abs(0.51675978-0.51656803)×5.6113003057856e-05×R²
    0.000191750000000046×5.6113003057856e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.6113003057856e-05×40589641000000     		ar = 1351274.84691584m²