Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19077 / 14685
↖ ↑ ↗
← N 18.344098°
E 29.586181°		 ← 1 159.56 m → N 18.344098°
E 29.597168°		 →
↑
1 159.52 m
↓
↑
1 159.52 m
↓
N 18.333670°
E 29.586181°		 ← 1 159.63 m →
1 344 576 m²		 N 18.333670°
E 29.597168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582199096679688 y=0.448165893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582199096679688 × 215)
    floor (0.582199096679688 × 32768)
    floor (19077.5)     		tx = 19077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448165893554688 × 215)
    floor (0.448165893554688 × 32768)
    floor (14685.5)     		ty = 14685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19077 / 14685 ti = "15/19077/14685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19077/14685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19077 ÷ 215
    19077 ÷ 32768     		x = 0.582183837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14685 ÷ 215
    14685 ÷ 32768     		y = 0.448150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582183837890625 × 2 - 1) × π
    0.16436767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51637628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448150634765625 × 2 - 1) × π
    0.10369873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.325779169817902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51637628} λ = 0.51637628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325779169817902))-π/2
    2×atan(1.38510946112267)-π/2
    2×0.945480615870293-π/2
    1.89096123174059-1.57079632675     		φ = 0.32016490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51637628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.586181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32016490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.344098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19077 KachelY 14685 0.51637628 0.32016490 29.586181 18.344098
    Oben rechts KachelX + 1 19078 KachelY 14685 0.51656803 0.32016490 29.597168 18.344098
    Unten links KachelX 19077 KachelY + 1 14686 0.51637628 0.31998290 29.586181 18.333670
    Unten rechts KachelX + 1 19078 KachelY + 1 14686 0.51656803 0.31998290 29.597168 18.333670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32016490-0.31998290) × R
    0.00018199999999996 × 6371000     		dl = 1159.52199999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32016490-0.31998290) × R
    0.00018199999999996 × 6371000     		dr = 1159.52199999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51637628-0.51656803) × cos(0.32016490) × R
    0.000191749999999935 × 0.949183533151021 × 6371000     		do = 1159.55985955057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51637628-0.51656803) × cos(0.31998290) × R
    0.000191749999999935 × 0.949240797031844 × 6371000     		du = 1159.62981535499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32016490)-sin(0.31998290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949183533151021-0.949240797031844)×R²
    abs(0.51656803-0.51637628)×5.72638808232773e-05×R²
    0.000191749999999935×5.72638808232773e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.72638808232773e-05×40589641000000     		ar = 1344575.72882379m²