Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19077 / 14672
↖ ↑ ↗
← N 18.479609°
E 29.586181°		 ← 1 158.65 m → N 18.479609°
E 29.597168°		 →
↑
1 158.63 m
↓
↑
1 158.63 m
↓
N 18.469189°
E 29.586181°		 ← 1 158.72 m →
1 342 484 m²		 N 18.469189°
E 29.597168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582199096679688 y=0.447769165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582199096679688 × 215)
    floor (0.582199096679688 × 32768)
    floor (19077.5)     		tx = 19077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447769165039062 × 215)
    floor (0.447769165039062 × 32768)
    floor (14672.5)     		ty = 14672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19077 / 14672 ti = "15/19077/14672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19077/14672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19077 ÷ 215
    19077 ÷ 32768     		x = 0.582183837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14672 ÷ 215
    14672 ÷ 32768     		y = 0.44775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582183837890625 × 2 - 1) × π
    0.16436767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51637628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44775390625 × 2 - 1) × π
    0.1044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.328271888598145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51637628} λ = 0.51637628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.328271888598145))-π/2
    2×atan(1.38856645635753)-π/2
    2×0.946663174645813-π/2
    1.89332634929163-1.57079632675     		φ = 0.32253002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51637628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.586181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32253002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.479609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19077 KachelY 14672 0.51637628 0.32253002 29.586181 18.479609
    Oben rechts KachelX + 1 19078 KachelY 14672 0.51656803 0.32253002 29.597168 18.479609
    Unten links KachelX 19077 KachelY + 1 14673 0.51637628 0.32234816 29.586181 18.469189
    Unten rechts KachelX + 1 19078 KachelY + 1 14673 0.51656803 0.32234816 29.597168 18.469189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32253002-0.32234816) × R
    0.000181859999999978 × 6371000     		dl = 1158.63005999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32253002-0.32234816) × R
    0.000181859999999978 × 6371000     		dr = 1158.63005999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51637628-0.51656803) × cos(0.32253002) × R
    0.000191749999999935 × 0.948436521214896 × 6371000     		do = 1158.64728044918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51637628-0.51656803) × cos(0.32234816) × R
    0.000191749999999935 × 0.94849414917406 × 6371000     		du = 1158.71768102599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32253002)-sin(0.32234816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948436521214896-0.94849414917406)×R²
    abs(0.51656803-0.51637628)×5.7627959163975e-05×R²
    0.000191749999999935×5.7627959163975e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.7627959163975e-05×40589641000000     		ar = 1342484.3558778m²