Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19076 / 14827
↖ ↑ ↗
← N 16.857120°
E 29.575196°		 ← 1 169.09 m → N 16.857120°
E 29.586181°		 →
↑
1 169.14 m
↓
↑
1 169.14 m
↓
N 16.846605°
E 29.575196°		 ← 1 169.15 m →
1 366 865 m²		 N 16.846605°
E 29.586181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582168579101562 y=0.452499389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582168579101562 × 215)
    floor (0.582168579101562 × 32768)
    floor (19076.5)     		tx = 19076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452499389648438 × 215)
    floor (0.452499389648438 × 32768)
    floor (14827.5)     		ty = 14827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19076 / 14827 ti = "15/19076/14827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19076/14827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19076 ÷ 215
    19076 ÷ 32768     		x = 0.5821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14827 ÷ 215
    14827 ÷ 32768     		y = 0.452484130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5821533203125 × 2 - 1) × π
    0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452484130859375 × 2 - 1) × π
    0.09503173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.29855101083371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51618454} λ = 0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.29855101083371))-π/2
    2×atan(1.34790429316488)-π/2
    2×0.932504283575124-π/2
    1.86500856715025-1.57079632675     		φ = 0.29421224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29421224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.857120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19076 KachelY 14827 0.51618454 0.29421224 29.575196 16.857120
    Oben rechts KachelX + 1 19077 KachelY 14827 0.51637628 0.29421224 29.586181 16.857120
    Unten links KachelX 19076 KachelY + 1 14828 0.51618454 0.29402873 29.575196 16.846605
    Unten rechts KachelX + 1 19077 KachelY + 1 14828 0.51637628 0.29402873 29.586181 16.846605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29421224-0.29402873) × R
    0.000183509999999998 × 6371000     		dl = 1169.14220999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29421224-0.29402873) × R
    0.000183509999999998 × 6371000     		dr = 1169.14220999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51618454-0.51637628) × cos(0.29421224) × R
    0.000191739999999996 × 0.957030878642322 × 6371000     		do = 1169.08551237414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51618454-0.51637628) × cos(0.29402873) × R
    0.000191739999999996 × 0.957084077863856 × 6371000     		du = 1169.15049924192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29421224)-sin(0.29402873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957030878642322-0.957084077863856)×R²
    abs(0.51637628-0.51618454)×5.3199221533573e-05×R²
    0.000191739999999996×5.3199221533573e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.3199221533573e-05×40589641000000     		ar = 1366865.21289725m²