Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19076 / 14725
↖ ↑ ↗
← N 17.926476°
E 29.575196°		 ← 1 162.27 m → N 17.926476°
E 29.586181°		 →
↑
1 162.33 m
↓
↑
1 162.33 m
↓
N 17.916023°
E 29.575196°		 ← 1 162.34 m →
1 350 977 m²		 N 17.916023°
E 29.586181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582168579101562 y=0.449386596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582168579101562 × 215)
    floor (0.582168579101562 × 32768)
    floor (19076.5)     		tx = 19076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449386596679688 × 215)
    floor (0.449386596679688 × 32768)
    floor (14725.5)     		ty = 14725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19076 / 14725 ti = "15/19076/14725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19076/14725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19076 ÷ 215
    19076 ÷ 32768     		x = 0.5821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14725 ÷ 215
    14725 ÷ 32768     		y = 0.449371337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5821533203125 × 2 - 1) × π
    0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449371337890625 × 2 - 1) × π
    0.10125732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.318109265878693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51618454} λ = 0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318109265878693))-π/2
    2×atan(1.37452644186206)-π/2
    2×0.941836177951275-π/2
    1.88367235590255-1.57079632675     		φ = 0.31287603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31287603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.926476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19076 KachelY 14725 0.51618454 0.31287603 29.575196 17.926476
    Oben rechts KachelX + 1 19077 KachelY 14725 0.51637628 0.31287603 29.586181 17.926476
    Unten links KachelX 19076 KachelY + 1 14726 0.51618454 0.31269359 29.575196 17.916023
    Unten rechts KachelX + 1 19077 KachelY + 1 14726 0.51637628 0.31269359 29.586181 17.916023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31287603-0.31269359) × R
    0.000182440000000006 × 6371000     		dl = 1162.32524000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31287603-0.31269359) × R
    0.000182440000000006 × 6371000     		dr = 1162.32524000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51618454-0.51637628) × cos(0.31287603) × R
    0.000191739999999996 × 0.951452274671091 × 6371000     		do = 1162.27082621554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51618454-0.51637628) × cos(0.31269359) × R
    0.000191739999999996 × 0.951508413195508 × 6371000     		du = 1162.33940366382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31287603)-sin(0.31269359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951452274671091-0.951508413195508)×R²
    abs(0.51637628-0.51618454)×5.61385244179924e-05×R²
    0.000191739999999996×5.61385244179924e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.61385244179924e-05×40589641000000     		ar = 1350976.57542281m²