Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19076 / 14724
↖ ↑ ↗
← N 17.936928°
E 29.575196°		 ← 1 162.20 m → N 17.936928°
E 29.586181°		 →
↑
1 162.26 m
↓
↑
1 162.26 m
↓
N 17.926476°
E 29.575196°		 ← 1 162.27 m →
1 350 823 m²		 N 17.926476°
E 29.586181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582168579101562 y=0.449356079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582168579101562 × 215)
    floor (0.582168579101562 × 32768)
    floor (19076.5)     		tx = 19076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449356079101562 × 215)
    floor (0.449356079101562 × 32768)
    floor (14724.5)     		ty = 14724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19076 / 14724 ti = "15/19076/14724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19076/14724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19076 ÷ 215
    19076 ÷ 32768     		x = 0.5821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14724 ÷ 215
    14724 ÷ 32768     		y = 0.4493408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5821533203125 × 2 - 1) × π
    0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4493408203125 × 2 - 1) × π
    0.101318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.318301013477173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51618454} λ = 0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318301013477173))-π/2
    2×atan(1.37479002927665)-π/2
    2×0.94192739460337-π/2
    1.88385478920674-1.57079632675     		φ = 0.31305846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31305846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.936928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19076 KachelY 14724 0.51618454 0.31305846 29.575196 17.936928
    Oben rechts KachelX + 1 19077 KachelY 14724 0.51637628 0.31305846 29.586181 17.936928
    Unten links KachelX 19076 KachelY + 1 14725 0.51618454 0.31287603 29.575196 17.926476
    Unten rechts KachelX + 1 19077 KachelY + 1 14725 0.51637628 0.31287603 29.586181 17.926476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31305846-0.31287603) × R
    0.000182429999999956 × 6371000     		dl = 1162.26152999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31305846-0.31287603) × R
    0.000182429999999956 × 6371000     		dr = 1162.26152999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51618454-0.51637628) × cos(0.31305846) × R
    0.000191739999999996 × 0.951396107557898 × 6371000     		do = 1162.20221384391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51618454-0.51637628) × cos(0.31287603) × R
    0.000191739999999996 × 0.951452274671091 × 6371000     		du = 1162.27082621554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31305846)-sin(0.31287603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951396107557898-0.951452274671091)×R²
    abs(0.51637628-0.51618454)×5.61671131928954e-05×R²
    0.000191739999999996×5.61671131928954e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.61671131928954e-05×40589641000000     		ar = 1350822.79973759m²