Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19075 / 14719
↖ ↑ ↗
← N 17.989183°
E 29.564209°		 ← 1 161.92 m → N 17.989183°
E 29.575196°		 →
↑
1 161.94 m
↓
↑
1 161.94 m
↓
N 17.978733°
E 29.564209°		 ← 1 161.99 m →
1 350 124 m²		 N 17.978733°
E 29.575196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582138061523438 y=0.449203491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582138061523438 × 215)
    floor (0.582138061523438 × 32768)
    floor (19075.5)     		tx = 19075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449203491210938 × 215)
    floor (0.449203491210938 × 32768)
    floor (14719.5)     		ty = 14719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19075 / 14719 ti = "15/19075/14719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19075/14719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19075 ÷ 215
    19075 ÷ 32768     		x = 0.582122802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14719 ÷ 215
    14719 ÷ 32768     		y = 0.449188232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582122802734375 × 2 - 1) × π
    0.16424560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51599279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449188232421875 × 2 - 1) × π
    0.10162353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.319259751469574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51599279} λ = 0.51599279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319259751469574))-π/2
    2×atan(1.37610872475001)-π/2
    2×0.942383397013353-π/2
    1.88476679402671-1.57079632675     		φ = 0.31397047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51599279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.564209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31397047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.989183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19075 KachelY 14719 0.51599279 0.31397047 29.564209 17.989183
    Oben rechts KachelX + 1 19076 KachelY 14719 0.51618454 0.31397047 29.575196 17.989183
    Unten links KachelX 19075 KachelY + 1 14720 0.51599279 0.31378809 29.564209 17.978733
    Unten rechts KachelX + 1 19076 KachelY + 1 14720 0.51618454 0.31378809 29.575196 17.978733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31397047-0.31378809) × R
    0.000182379999999982 × 6371000     		dl = 1161.94297999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31397047-0.31378809) × R
    0.000182379999999982 × 6371000     		dr = 1161.94297999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51599279-0.51618454) × cos(0.31397047) × R
    0.000191750000000046 × 0.95111484031961 × 6371000     		do = 1161.9192201922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51599279-0.51618454) × cos(0.31378809) × R
    0.000191750000000046 × 0.951171150272265 × 6371000     		du = 1161.98801064053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31397047)-sin(0.31378809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95111484031961-0.951171150272265)×R²
    abs(0.51618454-0.51599279)×5.63099526547095e-05×R²
    0.000191750000000046×5.63099526547095e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.63099526547095e-05×40589641000000     		ar = 1350123.85026083m²