Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19073 / 14727
↖ ↑ ↗
← N 17.905569°
E 29.542236°		 ← 1 162.47 m → N 17.905569°
E 29.553223°		 →
↑
1 162.52 m
↓
↑
1 162.52 m
↓
N 17.895114°
E 29.542236°		 ← 1 162.54 m →
1 351 429 m²		 N 17.895114°
E 29.553223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582077026367188 y=0.449447631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582077026367188 × 215)
    floor (0.582077026367188 × 32768)
    floor (19073.5)     		tx = 19073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449447631835938 × 215)
    floor (0.449447631835938 × 32768)
    floor (14727.5)     		ty = 14727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19073 / 14727 ti = "15/19073/14727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19073/14727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19073 ÷ 215
    19073 ÷ 32768     		x = 0.582061767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14727 ÷ 215
    14727 ÷ 32768     		y = 0.449432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582061767578125 × 2 - 1) × π
    0.16412353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51560929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449432373046875 × 2 - 1) × π
    0.10113525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.317725770681732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51560929} λ = 0.51560929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.317725770681732))-π/2
    2×atan(1.37399941863541)-π/2
    2×0.941653728498724-π/2
    1.88330745699745-1.57079632675     		φ = 0.31251113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51560929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.542236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31251113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.905569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19073 KachelY 14727 0.51560929 0.31251113 29.542236 17.905569
    Oben rechts KachelX + 1 19074 KachelY 14727 0.51580104 0.31251113 29.553223 17.905569
    Unten links KachelX 19073 KachelY + 1 14728 0.51560929 0.31232866 29.542236 17.895114
    Unten rechts KachelX + 1 19074 KachelY + 1 14728 0.51580104 0.31232866 29.553223 17.895114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31251113-0.31232866) × R
    0.000182470000000046 × 6371000     		dl = 1162.51637000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31251113-0.31232866) × R
    0.000182470000000046 × 6371000     		dr = 1162.51637000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51560929-0.51580104) × cos(0.31251113) × R
    0.000191750000000046 × 0.951564526198566 × 6371000     		do = 1162.4685741121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51560929-0.51580104) × cos(0.31232866) × R
    0.000191750000000046 × 0.951620610595224 × 6371000     		du = 1162.53708901237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31251113)-sin(0.31232866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951564526198566-0.951620610595224)×R²
    abs(0.51580104-0.51560929)×5.60843966580515e-05×R²
    0.000191750000000046×5.60843966580515e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.60843966580515e-05×40589641000000     		ar = 1351428.57561244m²