Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19071 / 14731
↖ ↑ ↗
← N 17.863747°
E 29.520264°		 ← 1 162.68 m → N 17.863747°
E 29.531250°		 →
↑
1 162.77 m
↓
↑
1 162.77 m
↓
N 17.853290°
E 29.520264°		 ← 1 162.75 m →
1 351 973 m²		 N 17.853290°
E 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582015991210938 y=0.449569702148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582015991210938 × 215)
    floor (0.582015991210938 × 32768)
    floor (19071.5)     		tx = 19071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449569702148438 × 215)
    floor (0.449569702148438 × 32768)
    floor (14731.5)     		ty = 14731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19071 / 14731 ti = "15/19071/14731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19071/14731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19071 ÷ 215
    19071 ÷ 32768     		x = 0.582000732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14731 ÷ 215
    14731 ÷ 32768     		y = 0.449554443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582000732421875 × 2 - 1) × π
    0.16400146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51522580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449554443359375 × 2 - 1) × π
    0.10089111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.316958780287811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51522580} λ = 0.51522580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.316958780287811))-π/2
    2×atan(1.372945978321)-π/2
    2×0.941288765076341-π/2
    1.88257753015268-1.57079632675     		φ = 0.31178120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51522580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.520264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31178120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.863747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19071 KachelY 14731 0.51522580 0.31178120 29.520264 17.863747
    Oben rechts KachelX + 1 19072 KachelY 14731 0.51541754 0.31178120 29.531250 17.863747
    Unten links KachelX 19071 KachelY + 1 14732 0.51522580 0.31159869 29.520264 17.853290
    Unten rechts KachelX + 1 19072 KachelY + 1 14732 0.51541754 0.31159869 29.531250 17.853290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31178120-0.31159869) × R
    0.000182509999999969 × 6371000     		dl = 1162.7712099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31178120-0.31159869) × R
    0.000182509999999969 × 6371000     		dr = 1162.7712099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51522580-0.51541754) × cos(0.31178120) × R
    0.000191739999999996 × 0.951788689008491 × 6371000     		do = 1162.68178174141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51522580-0.51541754) × cos(0.31159869) × R
    0.000191739999999996 × 0.951844658910524 × 6371000     		du = 1162.75015320471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31178120)-sin(0.31159869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951788689008491-0.951844658910524)×R²
    abs(0.51541754-0.51522580)×5.59699020327153e-05×R²
    0.000191739999999996×5.59699020327153e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.59699020327153e-05×40589641000000     		ar = 1351972.65613748m²