Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19070 / 14954
↖ ↑ ↗
← N 15.517205°
E 29.509277°		 ← 1 177.11 m → N 15.517205°
E 29.520264°		 →
↑
1 177.11 m
↓
↑
1 177.11 m
↓
N 15.506619°
E 29.509277°		 ← 1 177.17 m →
1 385 620 m²		 N 15.506619°
E 29.520264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581985473632812 y=0.456375122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581985473632812 × 215)
    floor (0.581985473632812 × 32768)
    floor (19070.5)     		tx = 19070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456375122070312 × 215)
    floor (0.456375122070312 × 32768)
    floor (14954.5)     		ty = 14954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19070 / 14954 ti = "15/19070/14954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19070/14954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19070 ÷ 215
    19070 ÷ 32768     		x = 0.58197021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14954 ÷ 215
    14954 ÷ 32768     		y = 0.45635986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58197021484375 × 2 - 1) × π
    0.1639404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51503405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45635986328125 × 2 - 1) × π
    0.0872802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.274199065826721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51503405} λ = 0.51503405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.274199065826721))-π/2
    2×atan(1.31547664262152)-π/2
    2×0.920811324609035-π/2
    1.84162264921807-1.57079632675     		φ = 0.27082632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51503405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.509277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27082632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.517205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19070 KachelY 14954 0.51503405 0.27082632 29.509277 15.517205
    Oben rechts KachelX + 1 19071 KachelY 14954 0.51522580 0.27082632 29.520264 15.517205
    Unten links KachelX 19070 KachelY + 1 14955 0.51503405 0.27064156 29.509277 15.506619
    Unten rechts KachelX + 1 19071 KachelY + 1 14955 0.51522580 0.27064156 29.520264 15.506619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27082632-0.27064156) × R
    0.000184760000000006 × 6371000     		dl = 1177.10596000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27082632-0.27064156) × R
    0.000184760000000006 × 6371000     		dr = 1177.10596000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51503405-0.51522580) × cos(0.27082632) × R
    0.000191749999999935 × 0.963550161836558 × 6371000     		do = 1177.11069704299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51503405-0.51522580) × cos(0.27064156) × R
    0.000191749999999935 × 0.963599573813433 × 6371000     		du = 1177.17106065336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27082632)-sin(0.27064156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963550161836558-0.963599573813433)×R²
    abs(0.51522580-0.51503405)×4.94119768756907e-05×R²
    0.000191749999999935×4.94119768756907e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.94119768756907e-05×40589641000000     		ar = 1385619.54819326m²