Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19068 / 14732
↖ ↑ ↗
← N 17.853290°
E 29.487304°		 ← 1 162.81 m → N 17.853290°
E 29.498291°		 →
↑
1 162.77 m
↓
↑
1 162.77 m
↓
N 17.842833°
E 29.487304°		 ← 1 162.88 m →
1 352 123 m²		 N 17.842833°
E 29.498291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581924438476562 y=0.449600219726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581924438476562 × 215)
    floor (0.581924438476562 × 32768)
    floor (19068.5)     		tx = 19068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449600219726562 × 215)
    floor (0.449600219726562 × 32768)
    floor (14732.5)     		ty = 14732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19068 / 14732 ti = "15/19068/14732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19068/14732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19068 ÷ 215
    19068 ÷ 32768     		x = 0.5819091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14732 ÷ 215
    14732 ÷ 32768     		y = 0.4495849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5819091796875 × 2 - 1) × π
    0.163818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51465055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4495849609375 × 2 - 1) × π
    0.100830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.316767032689331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51465055} λ = 0.51465055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.316767032689331))-π/2
    2×atan(1.37268274446485)-π/2
    2×0.941197510795521-π/2
    1.88239502159104-1.57079632675     		φ = 0.31159869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51465055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.487304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31159869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.853290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19068 KachelY 14732 0.51465055 0.31159869 29.487304 17.853290
    Oben rechts KachelX + 1 19069 KachelY 14732 0.51484230 0.31159869 29.498291 17.853290
    Unten links KachelX 19068 KachelY + 1 14733 0.51465055 0.31141618 29.487304 17.842833
    Unten rechts KachelX + 1 19069 KachelY + 1 14733 0.51484230 0.31141618 29.498291 17.842833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31159869-0.31141618) × R
    0.000182510000000025 × 6371000     		dl = 1162.77121000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31159869-0.31141618) × R
    0.000182510000000025 × 6371000     		dr = 1162.77121000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51465055-0.51484230) × cos(0.31159869) × R
    0.000191749999999935 × 0.951844658910524 × 6371000     		do = 1162.81079522756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51465055-0.51484230) × cos(0.31141618) × R
    0.000191749999999935 × 0.951900597106706 × 6371000     		du = 1162.87913152359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31159869)-sin(0.31141618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951844658910524-0.951900597106706)×R²
    abs(0.51484230-0.51465055)×5.59381961823258e-05×R²
    0.000191749999999935×5.59381961823258e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.59381961823258e-05×40589641000000     		ar = 1352122.64886014m²