Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19066 / 14947
↖ ↑ ↗
← N 15.591293°
E 29.465332°		 ← 1 176.69 m → N 15.591293°
E 29.476319°		 →
↑
1 176.72 m
↓
↑
1 176.72 m
↓
N 15.580711°
E 29.465332°		 ← 1 176.75 m →
1 384 671 m²		 N 15.580711°
E 29.476319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581863403320312 y=0.456161499023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581863403320312 × 215)
    floor (0.581863403320312 × 32768)
    floor (19066.5)     		tx = 19066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456161499023438 × 215)
    floor (0.456161499023438 × 32768)
    floor (14947.5)     		ty = 14947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19066 / 14947 ti = "15/19066/14947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19066/14947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19066 ÷ 215
    19066 ÷ 32768     		x = 0.58184814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14947 ÷ 215
    14947 ÷ 32768     		y = 0.456146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58184814453125 × 2 - 1) × π
    0.1636962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51426706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456146240234375 × 2 - 1) × π
    0.08770751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.275541299016083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51426706} λ = 0.51426706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.275541299016083))-π/2
    2×atan(1.31724350453616)-π/2
    2×0.921457862843885-π/2
    1.84291572568777-1.57079632675     		φ = 0.27211940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51426706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.465332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27211940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.591293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19066 KachelY 14947 0.51426706 0.27211940 29.465332 15.591293
    Oben rechts KachelX + 1 19067 KachelY 14947 0.51445881 0.27211940 29.476319 15.591293
    Unten links KachelX 19066 KachelY + 1 14948 0.51426706 0.27193470 29.465332 15.580711
    Unten rechts KachelX + 1 19067 KachelY + 1 14948 0.51445881 0.27193470 29.476319 15.580711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27211940-0.27193470) × R
    0.000184700000000038 × 6371000     		dl = 1176.72370000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27211940-0.27193470) × R
    0.000184700000000038 × 6371000     		dr = 1176.72370000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51426706-0.51445881) × cos(0.27211940) × R
    0.000191750000000046 × 0.963203421622783 × 6371000     		do = 1176.68710558897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51426706-0.51445881) × cos(0.27193470) × R
    0.000191750000000046 × 0.963253047649706 × 6371000     		du = 1176.74773069128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27211940)-sin(0.27193470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963203421622783-0.963253047649706)×R²
    abs(0.51445881-0.51426706)×4.96260269235993e-05×R²
    0.000191750000000046×4.96260269235993e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.96260269235993e-05×40589641000000     		ar = 1384671.27806498m²