Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19066 / 14621
↖ ↑ ↗
← N 19.010190°
E 29.465332°		 ← 1 155.01 m → N 19.010190°
E 29.476319°		 →
↑
1 155 m
↓
↑
1 155 m
↓
N 18.999803°
E 29.465332°		 ← 1 155.08 m →
1 334 079 m²		 N 18.999803°
E 29.476319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581863403320312 y=0.446212768554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581863403320312 × 215)
    floor (0.581863403320312 × 32768)
    floor (19066.5)     		tx = 19066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446212768554688 × 215)
    floor (0.446212768554688 × 32768)
    floor (14621.5)     		ty = 14621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19066 / 14621 ti = "15/19066/14621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19066/14621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19066 ÷ 215
    19066 ÷ 32768     		x = 0.58184814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14621 ÷ 215
    14621 ÷ 32768     		y = 0.446197509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58184814453125 × 2 - 1) × π
    0.1636962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51426706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446197509765625 × 2 - 1) × π
    0.10760498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.338051016120636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51426706} λ = 0.51426706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.338051016120636))-π/2
    2×atan(1.40221203699906)-π/2
    2×0.951293369426821-π/2
    1.90258673885364-1.57079632675     		φ = 0.33179041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51426706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.465332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33179041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.010190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19066 KachelY 14621 0.51426706 0.33179041 29.465332 19.010190
    Oben rechts KachelX + 1 19067 KachelY 14621 0.51445881 0.33179041 29.476319 19.010190
    Unten links KachelX 19066 KachelY + 1 14622 0.51426706 0.33160912 29.465332 18.999803
    Unten rechts KachelX + 1 19067 KachelY + 1 14622 0.51445881 0.33160912 29.476319 18.999803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33179041-0.33160912) × R
    0.000181290000000001 × 6371000     		dl = 1154.99859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33179041-0.33160912) × R
    0.000181290000000001 × 6371000     		dr = 1154.99859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51426706-0.51445881) × cos(0.33179041) × R
    0.000191750000000046 × 0.945460657658769 × 6371000     		do = 1155.01184872704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51426706-0.51445881) × cos(0.33160912) × R
    0.000191750000000046 × 0.945519694857625 × 6371000     		du = 1155.08397088638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33179041)-sin(0.33160912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945460657658769-0.945519694857625)×R²
    abs(0.51445881-0.51426706)×5.90371988559157e-05×R²
    0.000191750000000046×5.90371988559157e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.90371988559157e-05×40589641000000     		ar = 1334078.71086299m²