Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19066 / 10894
↖ ↑ ↗
← N 81.666853°
W127.633667°		 ← 44.26 m → N 81.666853°
W127.630920°		 →
↑
44.28 m
↓
↑
44.28 m
↓
N 81.666455°
W127.633667°		 ← 44.27 m →
1 960 m²		 N 81.666455°
W127.630920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145465850830078 y=0.0831184387207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145465850830078 × 217)
    floor (0.145465850830078 × 131072)
    floor (19066.5)     		tx = 19066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0831184387207031 × 217)
    floor (0.0831184387207031 × 131072)
    floor (10894.5)     		ty = 10894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19066 / 10894 ti = "17/19066/10894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19066/10894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19066 ÷ 217
    19066 ÷ 131072     		x = 0.145462036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10894 ÷ 217
    10894 ÷ 131072     		y = 0.0831146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145462036132812 × 2 - 1) × π
    -0.709075927734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.22762773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0831146240234375 × 2 - 1) × π
    0.833770751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61936806903911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22762773} λ = -2.22762773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61936806903911))-π/2
    2×atan(13.7270462980862)-π/2
    2×1.4980759029541-π/2
    2.99615180590819-1.57079632675     		φ = 1.42535548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22762773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.633667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42535548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.666853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19066 KachelY 10894 -2.22762773 1.42535548 -127.633667 81.666853
    Oben rechts KachelX + 1 19067 KachelY 10894 -2.22757979 1.42535548 -127.630920 81.666853
    Unten links KachelX 19066 KachelY + 1 10895 -2.22762773 1.42534853 -127.633667 81.666455
    Unten rechts KachelX + 1 19067 KachelY + 1 10895 -2.22757979 1.42534853 -127.630920 81.666455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42535548-1.42534853) × R
    6.94999999995005e-06 × 6371000     		dl = 44.2784499996818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42535548-1.42534853) × R
    6.94999999995005e-06 × 6371000     		dr = 44.2784499996818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22762773--2.22757979) × cos(1.42535548) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144928636162777 × 6371000     		do = 44.2649359471779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22762773--2.22757979) × cos(1.42534853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144935512781946 × 6371000     		du = 44.2670362436763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42535548)-sin(1.42534853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144928636162777-0.144935512781946)×R²
    abs(-2.22757979--2.22762773)×6.87661916903837e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.87661916903837e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.87661916903837e-06×40589641000000     		ar = 1960.02925190395m²