Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19064 / 15000
↖ ↑ ↗
← N 15.029686°
E 29.443359°		 ← 1 179.85 m → N 15.029686°
E 29.454346°		 →
↑
1 179.85 m
↓
↑
1 179.85 m
↓
N 15.019075°
E 29.443359°		 ← 1 179.91 m →
1 392 074 m²		 N 15.019075°
E 29.454346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581802368164062 y=0.457778930664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581802368164062 × 215)
    floor (0.581802368164062 × 32768)
    floor (19064.5)     		tx = 19064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457778930664062 × 215)
    floor (0.457778930664062 × 32768)
    floor (15000.5)     		ty = 15000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19064 / 15000 ti = "15/19064/15000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19064/15000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19064 ÷ 215
    19064 ÷ 32768     		x = 0.581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15000 ÷ 215
    15000 ÷ 32768     		y = 0.457763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581787109375 × 2 - 1) × π
    0.16357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51388356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457763671875 × 2 - 1) × π
    0.08447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.265378676296631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51388356} λ = 0.51388356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.265378676296631))-π/2
    2×atan(1.30392464765821)-π/2
    2×0.916556914389781-π/2
    1.83311382877956-1.57079632675     		φ = 0.26231750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51388356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.443359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26231750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.029686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19064 KachelY 15000 0.51388356 0.26231750 29.443359 15.029686
    Oben rechts KachelX + 1 19065 KachelY 15000 0.51407531 0.26231750 29.454346 15.029686
    Unten links KachelX 19064 KachelY + 1 15001 0.51388356 0.26213231 29.443359 15.019075
    Unten rechts KachelX + 1 19065 KachelY + 1 15001 0.51407531 0.26213231 29.454346 15.019075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26231750-0.26213231) × R
    0.000185190000000002 × 6371000     		dl = 1179.84549000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26231750-0.26213231) × R
    0.000185190000000002 × 6371000     		dr = 1179.84549000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51388356-0.51407531) × cos(0.26231750) × R
    0.000191749999999935 × 0.965791599343304 × 6371000     		do = 1179.84892507765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51388356-0.51407531) × cos(0.26213231) × R
    0.000191749999999935 × 0.96583960615429 × 6371000     		du = 1179.90757208222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26231750)-sin(0.26213231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965791599343304-0.96583960615429)×R²
    abs(0.51407531-0.51388356)×4.80068109857124e-05×R²
    0.000191749999999935×4.80068109857124e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.80068109857124e-05×40589641000000     		ar = 1392074.03431444m²