Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19064 / 14963
↖ ↑ ↗
← N 15.421910°
E 29.443359°		 ← 1 177.65 m → N 15.421910°
E 29.454346°		 →
↑
1 177.62 m
↓
↑
1 177.62 m
↓
N 15.411320°
E 29.443359°		 ← 1 177.71 m →
1 386 858 m²		 N 15.411320°
E 29.454346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581802368164062 y=0.456649780273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581802368164062 × 215)
    floor (0.581802368164062 × 32768)
    floor (19064.5)     		tx = 19064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456649780273438 × 215)
    floor (0.456649780273438 × 32768)
    floor (14963.5)     		ty = 14963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19064 / 14963 ti = "15/19064/14963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19064/14963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19064 ÷ 215
    19064 ÷ 32768     		x = 0.581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14963 ÷ 215
    14963 ÷ 32768     		y = 0.456634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581787109375 × 2 - 1) × π
    0.16357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51388356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456634521484375 × 2 - 1) × π
    0.08673095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.272473337440399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51388356} λ = 0.51388356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.272473337440399))-π/2
    2×atan(1.31320844494728)-π/2
    2×0.91997972010701-π/2
    1.83995944021402-1.57079632675     		φ = 0.26916311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51388356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.443359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26916311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.421910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19064 KachelY 14963 0.51388356 0.26916311 29.443359 15.421910
    Oben rechts KachelX + 1 19065 KachelY 14963 0.51407531 0.26916311 29.454346 15.421910
    Unten links KachelX 19064 KachelY + 1 14964 0.51388356 0.26897827 29.443359 15.411320
    Unten rechts KachelX + 1 19065 KachelY + 1 14964 0.51407531 0.26897827 29.454346 15.411320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26916311-0.26897827) × R
    0.000184839999999964 × 6371000     		dl = 1177.61563999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26916311-0.26897827) × R
    0.000184839999999964 × 6371000     		dr = 1177.61563999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51388356-0.51407531) × cos(0.26916311) × R
    0.000191749999999935 × 0.963993783706625 × 6371000     		do = 1177.65264293162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51388356-0.51407531) × cos(0.26897827) × R
    0.000191749999999935 × 0.964042920773593 × 6371000     		du = 1177.71267070126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26916311)-sin(0.26897827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963993783706625-0.964042920773593)×R²
    abs(0.51407531-0.51388356)×4.91370669675195e-05×R²
    0.000191749999999935×4.91370669675195e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.91370669675195e-05×40589641000000     		ar = 1386857.51957225m²