Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19064 / 14712
↖ ↑ ↗
← N 18.062312°
E 29.443359°		 ← 1 161.44 m → N 18.062312°
E 29.454346°		 →
↑
1 161.43 m
↓
↑
1 161.43 m
↓
N 18.051867°
E 29.443359°		 ← 1 161.51 m →
1 348 971 m²		 N 18.051867°
E 29.454346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581802368164062 y=0.448989868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581802368164062 × 215)
    floor (0.581802368164062 × 32768)
    floor (19064.5)     		tx = 19064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448989868164062 × 215)
    floor (0.448989868164062 × 32768)
    floor (14712.5)     		ty = 14712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19064 / 14712 ti = "15/19064/14712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19064/14712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19064 ÷ 215
    19064 ÷ 32768     		x = 0.581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14712 ÷ 215
    14712 ÷ 32768     		y = 0.448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581787109375 × 2 - 1) × π
    0.16357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51388356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448974609375 × 2 - 1) × π
    0.10205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.320601984658936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51388356} λ = 0.51388356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.320601984658936))-π/2
    2×atan(1.37795702369915)-π/2
    2×0.943021573512005-π/2
    1.88604314702401-1.57079632675     		φ = 0.31524682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51388356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.443359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31524682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.062312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19064 KachelY 14712 0.51388356 0.31524682 29.443359 18.062312
    Oben rechts KachelX + 1 19065 KachelY 14712 0.51407531 0.31524682 29.454346 18.062312
    Unten links KachelX 19064 KachelY + 1 14713 0.51388356 0.31506452 29.443359 18.051867
    Unten rechts KachelX + 1 19065 KachelY + 1 14713 0.51407531 0.31506452 29.454346 18.051867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31524682-0.31506452) × R
    0.000182299999999969 × 6371000     		dl = 1161.4332999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31524682-0.31506452) × R
    0.000182299999999969 × 6371000     		dr = 1161.4332999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51388356-0.51407531) × cos(0.31524682) × R
    0.000191749999999935 × 0.95071988105209 × 6371000     		do = 1161.43672244817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51388356-0.51407531) × cos(0.31506452) × R
    0.000191749999999935 × 0.950776387576342 × 6371000     		du = 1161.50575303608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31524682)-sin(0.31506452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95071988105209-0.950776387576342)×R²
    abs(0.51407531-0.51388356)×5.65065242512652e-05×R²
    0.000191749999999935×5.65065242512652e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.65065242512652e-05×40589641000000     		ar = 1348971.37624167m²