Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19063 / 14944
↖ ↑ ↗
← N 15.623037°
E 29.432373°		 ← 1 176.44 m → N 15.623037°
E 29.443359°		 →
↑
1 176.53 m
↓
↑
1 176.53 m
↓
N 15.612456°
E 29.432373°		 ← 1 176.50 m →
1 384 160 m²		 N 15.612456°
E 29.443359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581771850585938 y=0.456069946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581771850585938 × 215)
    floor (0.581771850585938 × 32768)
    floor (19063.5)     		tx = 19063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456069946289062 × 215)
    floor (0.456069946289062 × 32768)
    floor (14944.5)     		ty = 14944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19063 / 14944 ti = "15/19063/14944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19063/14944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19063 ÷ 215
    19063 ÷ 32768     		x = 0.581756591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14944 ÷ 215
    14944 ÷ 32768     		y = 0.4560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581756591796875 × 2 - 1) × π
    0.16351318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51369182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4560546875 × 2 - 1) × π
    0.087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.276116541811523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51369182} λ = 0.51369182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.276116541811523))-π/2
    2×atan(1.31800145735454)-π/2
    2×0.921734879328903-π/2
    1.84346975865781-1.57079632675     		φ = 0.27267343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51369182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.432373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27267343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.623037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19063 KachelY 14944 0.51369182 0.27267343 29.432373 15.623037
    Oben rechts KachelX + 1 19064 KachelY 14944 0.51388356 0.27267343 29.443359 15.623037
    Unten links KachelX 19063 KachelY + 1 14945 0.51369182 0.27248876 29.432373 15.612456
    Unten rechts KachelX + 1 19064 KachelY + 1 14945 0.51388356 0.27248876 29.443359 15.612456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27267343-0.27248876) × R
    0.000184669999999998 × 6371000     		dl = 1176.53256999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27267343-0.27248876) × R
    0.000184669999999998 × 6371000     		dr = 1176.53256999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51369182-0.51388356) × cos(0.27267343) × R
    0.000191739999999996 × 0.963054365247437 × 6371000     		do = 1176.44365627647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51369182-0.51388356) × cos(0.27248876) × R
    0.000191739999999996 × 0.963104081759374 × 6371000     		du = 1176.50438875139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27267343)-sin(0.27248876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963054365247437-0.963104081759374)×R²
    abs(0.51388356-0.51369182)×4.97165119373033e-05×R²
    0.000191739999999996×4.97165119373033e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.97165119373033e-05×40589641000000     		ar = 1384160.00918043m²