Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19062 / 14989
↖ ↑ ↗
← N 15.146369°
E 29.421387°		 ← 1 179.20 m → N 15.146369°
E 29.432373°		 →
↑
1 179.21 m
↓
↑
1 179.21 m
↓
N 15.135764°
E 29.421387°		 ← 1 179.26 m →
1 390 559 m²		 N 15.135764°
E 29.432373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581741333007812 y=0.457443237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581741333007812 × 215)
    floor (0.581741333007812 × 32768)
    floor (19062.5)     		tx = 19062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457443237304688 × 215)
    floor (0.457443237304688 × 32768)
    floor (14989.5)     		ty = 14989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19062 / 14989 ti = "15/19062/14989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19062/14989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19062 ÷ 215
    19062 ÷ 32768     		x = 0.58172607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14989 ÷ 215
    14989 ÷ 32768     		y = 0.457427978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58172607421875 × 2 - 1) × π
    0.1634521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51350007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457427978515625 × 2 - 1) × π
    0.08514404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.267487899879913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51350007} λ = 0.51350007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267487899879913))-π/2
    2×atan(1.30667781878191)-π/2
    2×0.917575170394601-π/2
    1.8351503407892-1.57079632675     		φ = 0.26435401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51350007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.421387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26435401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.146369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19062 KachelY 14989 0.51350007 0.26435401 29.421387 15.146369
    Oben rechts KachelX + 1 19063 KachelY 14989 0.51369182 0.26435401 29.432373 15.146369
    Unten links KachelX 19062 KachelY + 1 14990 0.51350007 0.26416892 29.421387 15.135764
    Unten rechts KachelX + 1 19063 KachelY + 1 14990 0.51369182 0.26416892 29.432373 15.135764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26435401-0.26416892) × R
    0.000185089999999999 × 6371000     		dl = 1179.20838999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26435401-0.26416892) × R
    0.000185089999999999 × 6371000     		dr = 1179.20838999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51350007-0.51369182) × cos(0.26435401) × R
    0.000191750000000046 × 0.965261490269665 × 6371000     		do = 1179.2013230272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51350007-0.51369182) × cos(0.26416892) × R
    0.000191750000000046 × 0.965309835119083 × 6371000     		du = 1179.26038299278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26435401)-sin(0.26416892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965261490269665-0.965309835119083)×R²
    abs(0.51369182-0.51350007)×4.83448494171812e-05×R²
    0.000191750000000046×4.83448494171812e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.83448494171812e-05×40589641000000     		ar = 1390558.91958611m²