Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19061 / 14988
↖ ↑ ↗
← N 15.156974°
E 29.410400°		 ← 1 179.14 m → N 15.156974°
E 29.421387°		 →
↑
1 179.21 m
↓
↑
1 179.21 m
↓
N 15.146369°
E 29.410400°		 ← 1 179.20 m →
1 390 489 m²		 N 15.146369°
E 29.421387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581710815429688 y=0.457412719726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581710815429688 × 215)
    floor (0.581710815429688 × 32768)
    floor (19061.5)     		tx = 19061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457412719726562 × 215)
    floor (0.457412719726562 × 32768)
    floor (14988.5)     		ty = 14988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19061 / 14988 ti = "15/19061/14988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19061/14988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19061 ÷ 215
    19061 ÷ 32768     		x = 0.581695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14988 ÷ 215
    14988 ÷ 32768     		y = 0.4573974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581695556640625 × 2 - 1) × π
    0.16339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51330832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4573974609375 × 2 - 1) × π
    0.085205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.267679647478394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51330832} λ = 0.51330832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267679647478394))-π/2
    2×atan(1.30692839513859)-π/2
    2×0.917667711362092-π/2
    1.83533542272418-1.57079632675     		φ = 0.26453910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51330832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.410400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26453910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.156974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19061 KachelY 14988 0.51330832 0.26453910 29.410400 15.156974
    Oben rechts KachelX + 1 19062 KachelY 14988 0.51350007 0.26453910 29.421387 15.156974
    Unten links KachelX 19061 KachelY + 1 14989 0.51330832 0.26435401 29.410400 15.146369
    Unten rechts KachelX + 1 19062 KachelY + 1 14989 0.51350007 0.26435401 29.421387 15.146369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26453910-0.26435401) × R
    0.000185090000000054 × 6371000     		dl = 1179.20839000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26453910-0.26435401) × R
    0.000185090000000054 × 6371000     		dr = 1179.20839000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51330832-0.51350007) × cos(0.26453910) × R
    0.000191749999999935 × 0.965213112352023 × 6371000     		do = 1179.14222266349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51330832-0.51350007) × cos(0.26435401) × R
    0.000191749999999935 × 0.965261490269665 × 6371000     		du = 1179.20132302652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26453910)-sin(0.26435401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965213112352023-0.965261490269665)×R²
    abs(0.51350007-0.51330832)×4.83779176427834e-05×R²
    0.000191749999999935×4.83779176427834e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.83779176427834e-05×40589641000000     		ar = 1390489.25176016m²