Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1906 / 1270
↖ ↑ ↗
← N 56.267761°
W 12.480469°		 ← 5 427.06 m → N 56.267761°
W 12.392578°		 →
↑
5 430.51 m
↓
↑
5 430.51 m
↓
N 56.218923°
W 12.480469°		 ← 5 433.99 m →
29 490 534 m²		 N 56.218923°
W 12.392578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4654541015625 y=0.3101806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4654541015625 × 212)
    floor (0.4654541015625 × 4096)
    floor (1906.5)     		tx = 1906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3101806640625 × 212)
    floor (0.3101806640625 × 4096)
    floor (1270.5)     		ty = 1270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1906 / 1270 ti = "12/1906/1270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1906/1270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1906 ÷ 212
    1906 ÷ 4096     		x = 0.46533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1270 ÷ 212
    1270 ÷ 4096     		y = 0.31005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46533203125 × 2 - 1) × π
    -0.0693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21782527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31005859375 × 2 - 1) × π
    0.3798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19343705294092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21782527} λ = -0.21782527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19343705294092))-π/2
    2×atan(3.29839851746969)-π/2
    2×1.27642701023985-π/2
    2.5528540204797-1.57079632675     		φ = 0.98205769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21782527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98205769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.267761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1906 KachelY 1270 -0.21782527 0.98205769 -12.480469 56.267761
    Oben rechts KachelX + 1 1907 KachelY 1270 -0.21629129 0.98205769 -12.392578 56.267761
    Unten links KachelX 1906 KachelY + 1 1271 -0.21782527 0.98120531 -12.480469 56.218923
    Unten rechts KachelX + 1 1907 KachelY + 1 1271 -0.21629129 0.98120531 -12.392578 56.218923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98205769-0.98120531) × R
    0.000852379999999986 × 6371000     		dl = 5430.51297999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98205769-0.98120531) × R
    0.000852379999999986 × 6371000     		dr = 5430.51297999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21782527--0.21629129) × cos(0.98205769) × R
    0.00153397999999999 × 0.55531246259701 × 6371000     		do = 5427.0612446673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21782527--0.21629129) × cos(0.98120531) × R
    0.00153397999999999 × 0.556021135609577 × 6371000     		du = 5433.98709650872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98205769)-sin(0.98120531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55531246259701-0.556021135609577)×R²
    abs(-0.21629129--0.21782527)×0.000708673012566496×R²
    0.00153397999999999×0.000708673012566496×6371000²
    0.00153397999999999×0.000708673012566496×40589641000000     		ar = 29490533.782116m²