Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19058 / 14703
↖ ↑ ↗
← N 18.156291°
E 29.377442°		 ← 1 160.81 m → N 18.156291°
E 29.388428°		 →
↑
1 160.80 m
↓
↑
1 160.80 m
↓
N 18.145852°
E 29.377442°		 ← 1 160.88 m →
1 347 509 m²		 N 18.145852°
E 29.388428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581619262695312 y=0.448715209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581619262695312 × 215)
    floor (0.581619262695312 × 32768)
    floor (19058.5)     		tx = 19058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448715209960938 × 215)
    floor (0.448715209960938 × 32768)
    floor (14703.5)     		ty = 14703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19058 / 14703 ti = "15/19058/14703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19058/14703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19058 ÷ 215
    19058 ÷ 32768     		x = 0.58160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14703 ÷ 215
    14703 ÷ 32768     		y = 0.448699951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58160400390625 × 2 - 1) × π
    0.1632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51273308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448699951171875 × 2 - 1) × π
    0.10260009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.322327713045258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51273308} λ = 0.51273308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.322327713045258))-π/2
    2×atan(1.38033705630432)-π/2
    2×0.943841695858581-π/2
    1.88768339171716-1.57079632675     		φ = 0.31688706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51273308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31688706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.156291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19058 KachelY 14703 0.51273308 0.31688706 29.377442 18.156291
    Oben rechts KachelX + 1 19059 KachelY 14703 0.51292483 0.31688706 29.388428 18.156291
    Unten links KachelX 19058 KachelY + 1 14704 0.51273308 0.31670486 29.377442 18.145852
    Unten rechts KachelX + 1 19059 KachelY + 1 14704 0.51292483 0.31670486 29.388428 18.145852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31688706-0.31670486) × R
    0.000182200000000021 × 6371000     		dl = 1160.79620000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31688706-0.31670486) × R
    0.000182200000000021 × 6371000     		dr = 1160.79620000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51273308-0.51292483) × cos(0.31688706) × R
    0.000191750000000046 × 0.950210044100559 × 6371000     		do = 1160.81388561775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51273308-0.51292483) × cos(0.31670486) × R
    0.000191750000000046 × 0.950266803693645 × 6371000     		du = 1160.88322536448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31688706)-sin(0.31670486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950210044100559-0.950266803693645)×R²
    abs(0.51292483-0.51273308)×5.6759593085931e-05×R²
    0.000191750000000046×5.6759593085931e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.6759593085931e-05×40589641000000     		ar = 1347508.59571752m²