Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19057 / 12883
↖ ↑ ↗
← N 80.836594°
W127.658386°		 ← 48.64 m → N 80.836594°
W127.655640°		 →
↑
48.61 m
↓
↑
48.61 m
↓
N 80.836157°
W127.658386°		 ← 48.64 m →
2 364 m²		 N 80.836157°
W127.655640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145397186279297 y=0.0982933044433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145397186279297 × 217)
    floor (0.145397186279297 × 131072)
    floor (19057.5)     		tx = 19057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0982933044433594 × 217)
    floor (0.0982933044433594 × 131072)
    floor (12883.5)     		ty = 12883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19057 / 12883 ti = "17/19057/12883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19057/12883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19057 ÷ 217
    19057 ÷ 131072     		x = 0.145393371582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12883 ÷ 217
    12883 ÷ 131072     		y = 0.0982894897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145393371582031 × 2 - 1) × π
    -0.709213256835938 × 3.1415926535     		Λ = -2.22805916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0982894897460938 × 2 - 1) × π
    0.803421020507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.52402157569482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22805916} λ = -2.22805916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52402157569482))-π/2
    2×atan(12.4786798449931)-π/2
    2×1.49083052964299-π/2
    2.98166105928598-1.57079632675     		φ = 1.41086473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22805916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.658386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41086473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.836594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19057 KachelY 12883 -2.22805916 1.41086473 -127.658386 80.836594
    Oben rechts KachelX + 1 19058 KachelY 12883 -2.22801122 1.41086473 -127.655640 80.836594
    Unten links KachelX 19057 KachelY + 1 12884 -2.22805916 1.41085710 -127.658386 80.836157
    Unten rechts KachelX + 1 19058 KachelY + 1 12884 -2.22801122 1.41085710 -127.655640 80.836157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41086473-1.41085710) × R
    7.62999999981417e-06 × 6371000     		dl = 48.6107299988161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41086473-1.41085710) × R
    7.62999999981417e-06 × 6371000     		dr = 48.6107299988161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22805916--2.22801122) × cos(1.41086473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159250676731226 × 6371000     		do = 48.6392557861034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22805916--2.22801122) × cos(1.41085710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159258209353895 × 6371000     		du = 48.6415564429564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41086473)-sin(1.41085710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159250676731226-0.159258209353895)×R²
    abs(-2.22801122--2.22805916)×7.53262266953159e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.53262266953159e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.53262266953159e-06×40589641000000     		ar = 2364.44564867129m²