Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19056 / 15824
↖ ↑ ↗
← N 79.456521°
W127.661133°		 ← 55.88 m → N 79.456521°
W127.658386°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
N 79.456019°
W127.661133°		 ← 55.88 m →
3 122 m²		 N 79.456019°
W127.658386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145389556884766 y=0.120731353759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145389556884766 × 217)
    floor (0.145389556884766 × 131072)
    floor (19056.5)     		tx = 19056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120731353759766 × 217)
    floor (0.120731353759766 × 131072)
    floor (15824.5)     		ty = 15824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19056 / 15824 ti = "17/19056/15824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19056/15824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19056 ÷ 217
    19056 ÷ 131072     		x = 0.1453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15824 ÷ 217
    15824 ÷ 131072     		y = 0.1207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22810709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1207275390625 × 2 - 1) × π
    0.758544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38303915391223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22810709} λ = -2.22810709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38303915391223))-π/2
    2×atan(10.8377905768383)-π/2
    2×1.47878712058132-π/2
    2.95757424116265-1.57079632675     		φ = 1.38677791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22810709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.661133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38677791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.456521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19056 KachelY 15824 -2.22810709 1.38677791 -127.661133 79.456521
    Oben rechts KachelX + 1 19057 KachelY 15824 -2.22805916 1.38677791 -127.658386 79.456521
    Unten links KachelX 19056 KachelY + 1 15825 -2.22810709 1.38676914 -127.661133 79.456019
    Unten rechts KachelX + 1 19057 KachelY + 1 15825 -2.22805916 1.38676914 -127.658386 79.456019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38677791-1.38676914) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38677791-1.38676914) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22810709--2.22805916) × cos(1.38677791) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182981611350923 × 6371000     		do = 55.8756362948231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22810709--2.22805916) × cos(1.38676914) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182990233274152 × 6371000     		du = 55.8782691028028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38677791)-sin(1.38676914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182981611350923-0.182990233274152)×R²
    abs(-2.22805916--2.22810709)×8.62192322886868e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.62192322886868e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.62192322886868e-06×40589641000000     		ar = 3122.05041565039m²