Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19054 / 14682
↖ ↑ ↗
← N 18.375379°
E 29.333496°		 ← 1 159.35 m → N 18.375379°
E 29.344483°		 →
↑
1 159.39 m
↓
↑
1 159.39 m
↓
N 18.364953°
E 29.333496°		 ← 1 159.42 m →
1 344 184 m²		 N 18.364953°
E 29.344483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581497192382812 y=0.448074340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581497192382812 × 215)
    floor (0.581497192382812 × 32768)
    floor (19054.5)     		tx = 19054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448074340820312 × 215)
    floor (0.448074340820312 × 32768)
    floor (14682.5)     		ty = 14682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19054 / 14682 ti = "15/19054/14682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19054/14682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19054 ÷ 215
    19054 ÷ 32768     		x = 0.58148193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14682 ÷ 215
    14682 ÷ 32768     		y = 0.44805908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58148193359375 × 2 - 1) × π
    0.1629638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51196609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44805908203125 × 2 - 1) × π
    0.1038818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.326354412613342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51196609} λ = 0.51196609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.326354412613342))-π/2
    2×atan(1.38590646457435)-π/2
    2×0.945753596639516-π/2
    1.89150719327903-1.57079632675     		φ = 0.32071087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51196609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.333496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32071087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.375379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19054 KachelY 14682 0.51196609 0.32071087 29.333496 18.375379
    Oben rechts KachelX + 1 19055 KachelY 14682 0.51215784 0.32071087 29.344483 18.375379
    Unten links KachelX 19054 KachelY + 1 14683 0.51196609 0.32052889 29.333496 18.364953
    Unten rechts KachelX + 1 19055 KachelY + 1 14683 0.51215784 0.32052889 29.344483 18.364953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32071087-0.32052889) × R
    0.00018197999999997 × 6371000     		dl = 1159.39457999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32071087-0.32052889) × R
    0.00018197999999997 × 6371000     		dr = 1159.39457999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51196609-0.51215784) × cos(0.32071087) × R
    0.000191749999999935 × 0.94901156232885 × 6371000     		do = 1159.34977324435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51196609-0.51215784) × cos(0.32052889) × R
    0.000191749999999935 × 0.949068914219692 × 6371000     		du = 1159.41983656527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32071087)-sin(0.32052889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94901156232885-0.949068914219692)×R²
    abs(0.51215784-0.51196609)×5.73518908417725e-05×R²
    0.000191749999999935×5.73518908417725e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.73518908417725e-05×40589641000000     		ar = 1344184.46265025m²