Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19054 / 14679
↖ ↑ ↗
← N 18.406655°
E 29.333496°		 ← 1 159.14 m → N 18.406655°
E 29.344483°		 →
↑
1 159.14 m
↓
↑
1 159.14 m
↓
N 18.396230°
E 29.333496°		 ← 1 159.21 m →
1 343 645 m²		 N 18.396230°
E 29.344483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581497192382812 y=0.447982788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581497192382812 × 215)
    floor (0.581497192382812 × 32768)
    floor (19054.5)     		tx = 19054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447982788085938 × 215)
    floor (0.447982788085938 × 32768)
    floor (14679.5)     		ty = 14679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19054 / 14679 ti = "15/19054/14679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19054/14679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19054 ÷ 215
    19054 ÷ 32768     		x = 0.58148193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14679 ÷ 215
    14679 ÷ 32768     		y = 0.447967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58148193359375 × 2 - 1) × π
    0.1629638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51196609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447967529296875 × 2 - 1) × π
    0.10406494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.326929655408783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51196609} λ = 0.51196609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.326929655408783))-π/2
    2×atan(1.38670392662841)-π/2
    2×0.946026527910827-π/2
    1.89205305582165-1.57079632675     		φ = 0.32125673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51196609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.333496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32125673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.406655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19054 KachelY 14679 0.51196609 0.32125673 29.333496 18.406655
    Oben rechts KachelX + 1 19055 KachelY 14679 0.51215784 0.32125673 29.344483 18.406655
    Unten links KachelX 19054 KachelY + 1 14680 0.51196609 0.32107479 29.333496 18.396230
    Unten rechts KachelX + 1 19055 KachelY + 1 14680 0.51215784 0.32107479 29.344483 18.396230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32125673-0.32107479) × R
    0.000181939999999992 × 6371000     		dl = 1159.13973999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32125673-0.32107479) × R
    0.000181939999999992 × 6371000     		dr = 1159.13973999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51196609-0.51215784) × cos(0.32125673) × R
    0.000191749999999935 × 0.948839343355767 × 6371000     		do = 1159.13938378724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51196609-0.51215784) × cos(0.32107479) × R
    0.000191749999999935 × 0.948896776888081 × 6371000     		du = 1159.20954684458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32125673)-sin(0.32107479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948839343355767-0.948896776888081)×R²
    abs(0.51215784-0.51196609)×5.74335323135777e-05×R²
    0.000191749999999935×5.74335323135777e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.74335323135777e-05×40589641000000     		ar = 1343645.19204753m²