Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19051 / 14657
↖ ↑ ↗
← N 18.635835°
E 29.300537°		 ← 1 157.53 m → N 18.635835°
E 29.311523°		 →
↑
1 157.61 m
↓
↑
1 157.61 m
↓
N 18.625424°
E 29.300537°		 ← 1 157.60 m →
1 340 006 m²		 N 18.625424°
E 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581405639648438 y=0.447311401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581405639648438 × 215)
    floor (0.581405639648438 × 32768)
    floor (19051.5)     		tx = 19051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447311401367188 × 215)
    floor (0.447311401367188 × 32768)
    floor (14657.5)     		ty = 14657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19051 / 14657 ti = "15/19051/14657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19051/14657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19051 ÷ 215
    19051 ÷ 32768     		x = 0.581390380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14657 ÷ 215
    14657 ÷ 32768     		y = 0.447296142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581390380859375 × 2 - 1) × π
    0.16278076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51139085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447296142578125 × 2 - 1) × π
    0.10540771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.331148102575348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51139085} λ = 0.51139085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.331148102575348))-π/2
    2×atan(1.39256601965027)-π/2
    2×0.948026504598862-π/2
    1.89605300919772-1.57079632675     		φ = 0.32525668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51139085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.300537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32525668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.635835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19051 KachelY 14657 0.51139085 0.32525668 29.300537 18.635835
    Oben rechts KachelX + 1 19052 KachelY 14657 0.51158259 0.32525668 29.311523 18.635835
    Unten links KachelX 19051 KachelY + 1 14658 0.51139085 0.32507498 29.300537 18.625424
    Unten rechts KachelX + 1 19052 KachelY + 1 14658 0.51158259 0.32507498 29.311523 18.625424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32525668-0.32507498) × R
    0.000181700000000007 × 6371000     		dl = 1157.61070000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32525668-0.32507498) × R
    0.000181700000000007 × 6371000     		dr = 1157.61070000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51139085-0.51158259) × cos(0.32525668) × R
    0.000191739999999996 × 0.947568735018757 × 6371000     		do = 1157.52678916763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51139085-0.51158259) × cos(0.32507498) × R
    0.000191739999999996 × 0.947626781978228 × 6371000     		du = 1157.59769791349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32525668)-sin(0.32507498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947568735018757-0.947626781978228)×R²
    abs(0.51158259-0.51139085)×5.8046959471314e-05×R²
    0.000191739999999996×5.8046959471314e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.8046959471314e-05×40589641000000     		ar = 1340006.44272539m²