Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19050 / 14993
↖ ↑ ↗
← N 15.103946°
E 29.289551°		 ← 1 179.44 m → N 15.103946°
E 29.300537°		 →
↑
1 179.40 m
↓
↑
1 179.40 m
↓
N 15.093340°
E 29.289551°		 ← 1 179.50 m →
1 391 063 m²		 N 15.093340°
E 29.300537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581375122070312 y=0.457565307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581375122070312 × 215)
    floor (0.581375122070312 × 32768)
    floor (19050.5)     		tx = 19050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457565307617188 × 215)
    floor (0.457565307617188 × 32768)
    floor (14993.5)     		ty = 14993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19050 / 14993 ti = "15/19050/14993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19050/14993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19050 ÷ 215
    19050 ÷ 32768     		x = 0.58135986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14993 ÷ 215
    14993 ÷ 32768     		y = 0.457550048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58135986328125 × 2 - 1) × π
    0.1627197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51119910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457550048828125 × 2 - 1) × π
    0.08489990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.266720909485992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51119910} λ = 0.51119910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266720909485992))-π/2
    2×atan(1.30567599369118)-π/2
    2×0.917204960188988-π/2
    1.83440992037798-1.57079632675     		φ = 0.26361359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51119910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.289551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26361359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.103946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19050 KachelY 14993 0.51119910 0.26361359 29.289551 15.103946
    Oben rechts KachelX + 1 19051 KachelY 14993 0.51139085 0.26361359 29.300537 15.103946
    Unten links KachelX 19050 KachelY + 1 14994 0.51119910 0.26342847 29.289551 15.093340
    Unten rechts KachelX + 1 19051 KachelY + 1 14994 0.51139085 0.26342847 29.300537 15.093340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26361359-0.26342847) × R
    0.000185119999999983 × 6371000     		dl = 1179.39951999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26361359-0.26342847) × R
    0.000185119999999983 × 6371000     		dr = 1179.39951999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51119910-0.51139085) × cos(0.26361359) × R
    0.000191749999999935 × 0.965454686875687 × 6371000     		do = 1179.4373395834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51119910-0.51139085) × cos(0.26342847) × R
    0.000191749999999935 × 0.965502907236698 × 6371000     		du = 1179.49624746906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26361359)-sin(0.26342847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965454686875687-0.965502907236698)×R²
    abs(0.51139085-0.51119910)×4.82203610112641e-05×R²
    0.000191749999999935×4.82203610112641e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.82203610112641e-05×40589641000000     		ar = 1391062.57411343m²