Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19050 / 14990
↖ ↑ ↗
← N 15.135764°
E 29.289551°		 ← 1 179.26 m → N 15.135764°
E 29.300537°		 →
↑
1 179.27 m
↓
↑
1 179.27 m
↓
N 15.125159°
E 29.289551°		 ← 1 179.32 m →
1 390 704 m²		 N 15.125159°
E 29.300537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581375122070312 y=0.457473754882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581375122070312 × 215)
    floor (0.581375122070312 × 32768)
    floor (19050.5)     		tx = 19050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457473754882812 × 215)
    floor (0.457473754882812 × 32768)
    floor (14990.5)     		ty = 14990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19050 / 14990 ti = "15/19050/14990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19050/14990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19050 ÷ 215
    19050 ÷ 32768     		x = 0.58135986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14990 ÷ 215
    14990 ÷ 32768     		y = 0.45745849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58135986328125 × 2 - 1) × π
    0.1627197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51119910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45745849609375 × 2 - 1) × π
    0.0850830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.267296152281433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51119910} λ = 0.51119910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267296152281433))-π/2
    2×atan(1.30642729046804)-π/2
    2×0.917482624790607-π/2
    1.83496524958121-1.57079632675     		φ = 0.26416892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51119910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.289551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26416892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.135764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19050 KachelY 14990 0.51119910 0.26416892 29.289551 15.135764
    Oben rechts KachelX + 1 19051 KachelY 14990 0.51139085 0.26416892 29.300537 15.135764
    Unten links KachelX 19050 KachelY + 1 14991 0.51119910 0.26398382 29.289551 15.125159
    Unten rechts KachelX + 1 19051 KachelY + 1 14991 0.51139085 0.26398382 29.300537 15.125159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26416892-0.26398382) × R
    0.000185099999999994 × 6371000     		dl = 1179.27209999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26416892-0.26398382) × R
    0.000185099999999994 × 6371000     		dr = 1179.27209999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51119910-0.51139085) × cos(0.26416892) × R
    0.000191749999999935 × 0.965309835119083 × 6371000     		do = 1179.2603829921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51119910-0.51139085) × cos(0.26398382) × R
    0.000191749999999935 × 0.965358149507902 × 6371000     		du = 1179.31940574582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26416892)-sin(0.26398382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965309835119083-0.965358149507902)×R²
    abs(0.51139085-0.51119910)×4.83143888199145e-05×R²
    0.000191749999999935×4.83143888199145e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.83143888199145e-05×40589641000000     		ar = 1390703.67421184m²