Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1905 / 1297
↖ ↑ ↗
← N 54.927142°
W 12.568359°		 ← 5 615.73 m → N 54.927142°
W 12.480469°		 →
↑
5 619.22 m
↓
↑
5 619.22 m
↓
N 54.876607°
W 12.568359°		 ← 5 622.78 m →
31 575 852 m²		 N 54.876607°
W 12.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4652099609375 y=0.3167724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4652099609375 × 212)
    floor (0.4652099609375 × 4096)
    floor (1905.5)     		tx = 1905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3167724609375 × 212)
    floor (0.3167724609375 × 4096)
    floor (1297.5)     		ty = 1297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1905 / 1297 ti = "12/1905/1297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1905/1297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1905 ÷ 212
    1905 ÷ 4096     		x = 0.465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1297 ÷ 212
    1297 ÷ 4096     		y = 0.316650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465087890625 × 2 - 1) × π
    -0.06982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21935925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316650390625 × 2 - 1) × π
    0.36669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15201957166919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21935925} λ = -0.21935925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15201957166919))-π/2
    2×atan(3.16457755156687)-π/2
    2×1.26472790051116-π/2
    2.52945580102233-1.57079632675     		φ = 0.95865947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21935925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.568359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95865947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.927142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1905 KachelY 1297 -0.21935925 0.95865947 -12.568359 54.927142
    Oben rechts KachelX + 1 1906 KachelY 1297 -0.21782527 0.95865947 -12.480469 54.927142
    Unten links KachelX 1905 KachelY + 1 1298 -0.21935925 0.95777747 -12.568359 54.876607
    Unten rechts KachelX + 1 1906 KachelY + 1 1298 -0.21782527 0.95777747 -12.480469 54.876607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95865947-0.95777747) × R
    0.000881999999999938 × 6371000     		dl = 5619.22199999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95865947-0.95777747) × R
    0.000881999999999938 × 6371000     		dr = 5619.22199999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21935925--0.21782527) × cos(0.95865947) × R
    0.00153398000000002 × 0.57461762130305 × 6371000     		do = 5615.7303016263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21935925--0.21782527) × cos(0.95777747) × R
    0.00153398000000002 × 0.575339245919403 × 6371000     		du = 5622.78272931771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95865947)-sin(0.95777747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57461762130305-0.575339245919403)×R²
    abs(-0.21782527--0.21935925)×0.000721624616352723×R²
    0.00153398000000002×0.000721624616352723×6371000²
    0.00153398000000002×0.000721624616352723×40589641000000     		ar = 31575851.8823478m²