Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19048 / 14617
↖ ↑ ↗
← N 19.051734°
E 29.267578°		 ← 1 154.72 m → N 19.051734°
E 29.278564°		 →
↑
1 154.74 m
↓
↑
1 154.74 m
↓
N 19.041349°
E 29.267578°		 ← 1 154.80 m →
1 333 451 m²		 N 19.041349°
E 29.278564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581314086914062 y=0.446090698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581314086914062 × 215)
    floor (0.581314086914062 × 32768)
    floor (19048.5)     		tx = 19048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446090698242188 × 215)
    floor (0.446090698242188 × 32768)
    floor (14617.5)     		ty = 14617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19048 / 14617 ti = "15/19048/14617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19048/14617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19048 ÷ 215
    19048 ÷ 32768     		x = 0.581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14617 ÷ 215
    14617 ÷ 32768     		y = 0.446075439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581298828125 × 2 - 1) × π
    0.16259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51081560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446075439453125 × 2 - 1) × π
    0.10784912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.338818006514557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51081560} λ = 0.51081560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.338818006514557))-π/2
    2×atan(1.40328793270977)-π/2
    2×0.951655903726861-π/2
    1.90331180745372-1.57079632675     		φ = 0.33251548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51081560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33251548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.051734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19048 KachelY 14617 0.51081560 0.33251548 29.267578 19.051734
    Oben rechts KachelX + 1 19049 KachelY 14617 0.51100735 0.33251548 29.278564 19.051734
    Unten links KachelX 19048 KachelY + 1 14618 0.51081560 0.33233423 29.267578 19.041349
    Unten rechts KachelX + 1 19049 KachelY + 1 14618 0.51100735 0.33233423 29.278564 19.041349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33251548-0.33233423) × R
    0.000181249999999966 × 6371000     		dl = 1154.74374999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33251548-0.33233423) × R
    0.000181249999999966 × 6371000     		dr = 1154.74374999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51081560-0.51100735) × cos(0.33251548) × R
    0.000191749999999935 × 0.945224227525021 × 6371000     		do = 1154.7230163951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51081560-0.51100735) × cos(0.33233423) × R
    0.000191749999999935 × 0.945283375941067 × 6371000     		du = 1154.79527442172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33251548)-sin(0.33233423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945224227525021-0.945283375941067)×R²
    abs(0.51100735-0.51081560)×5.9148416046706e-05×R²
    0.000191749999999935×5.9148416046706e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.9148416046706e-05×40589641000000     		ar = 1333450.90956597m²