Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19046 / 15001
↖ ↑ ↗
← N 15.019075°
E 29.245606°		 ← 1 179.85 m → N 15.019075°
E 29.256592°		 →
↑
1 179.91 m
↓
↑
1 179.91 m
↓
N 15.008464°
E 29.245606°		 ← 1 179.90 m →
1 392 146 m²		 N 15.008464°
E 29.256592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581253051757812 y=0.457809448242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581253051757812 × 215)
    floor (0.581253051757812 × 32768)
    floor (19046.5)     		tx = 19046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457809448242188 × 215)
    floor (0.457809448242188 × 32768)
    floor (15001.5)     		ty = 15001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19046 / 15001 ti = "15/19046/15001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19046/15001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19046 ÷ 215
    19046 ÷ 32768     		x = 0.58123779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15001 ÷ 215
    15001 ÷ 32768     		y = 0.457794189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58123779296875 × 2 - 1) × π
    0.1624755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51043211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457794189453125 × 2 - 1) × π
    0.08441162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.265186928698151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51043211} λ = 0.51043211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.265186928698151))-π/2
    2×atan(1.30367464720768)-π/2
    2×0.916464317978349-π/2
    1.8329286359567-1.57079632675     		φ = 0.26213231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51043211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.245606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26213231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.019075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19046 KachelY 15001 0.51043211 0.26213231 29.245606 15.019075
    Oben rechts KachelX + 1 19047 KachelY 15001 0.51062385 0.26213231 29.256592 15.019075
    Unten links KachelX 19046 KachelY + 1 15002 0.51043211 0.26194711 29.245606 15.008464
    Unten rechts KachelX + 1 19047 KachelY + 1 15002 0.51062385 0.26194711 29.256592 15.008464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26213231-0.26194711) × R
    0.000185199999999996 × 6371000     		dl = 1179.90919999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26213231-0.26194711) × R
    0.000185199999999996 × 6371000     		dr = 1179.90919999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51043211-0.51062385) × cos(0.26213231) × R
    0.000191739999999996 × 0.96583960615429 × 6371000     		do = 1179.84603844129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51043211-0.51062385) × cos(0.26194711) × R
    0.000191739999999996 × 0.965887582431099 × 6371000     		du = 1179.90464508754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26213231)-sin(0.26194711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96583960615429-0.965887582431099)×R²
    abs(0.51062385-0.51043211)×4.79762768093028e-05×R²
    0.000191739999999996×4.79762768093028e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.79762768093028e-05×40589641000000     		ar = 1392145.77458006m²