Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19045 / 15001
↖ ↑ ↗
← N 15.019075°
E 29.234619°		 ← 1 179.91 m → N 15.019075°
E 29.245606°		 →
↑
1 179.91 m
↓
↑
1 179.91 m
↓
N 15.008464°
E 29.234619°		 ← 1 179.97 m →
1 392 218 m²		 N 15.008464°
E 29.245606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581222534179688 y=0.457809448242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581222534179688 × 215)
    floor (0.581222534179688 × 32768)
    floor (19045.5)     		tx = 19045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457809448242188 × 215)
    floor (0.457809448242188 × 32768)
    floor (15001.5)     		ty = 15001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19045 / 15001 ti = "15/19045/15001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19045/15001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19045 ÷ 215
    19045 ÷ 32768     		x = 0.581207275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15001 ÷ 215
    15001 ÷ 32768     		y = 0.457794189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581207275390625 × 2 - 1) × π
    0.16241455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51024036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457794189453125 × 2 - 1) × π
    0.08441162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.265186928698151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51024036} λ = 0.51024036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.265186928698151))-π/2
    2×atan(1.30367464720768)-π/2
    2×0.916464317978349-π/2
    1.8329286359567-1.57079632675     		φ = 0.26213231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51024036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.234619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26213231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.019075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19045 KachelY 15001 0.51024036 0.26213231 29.234619 15.019075
    Oben rechts KachelX + 1 19046 KachelY 15001 0.51043211 0.26213231 29.245606 15.019075
    Unten links KachelX 19045 KachelY + 1 15002 0.51024036 0.26194711 29.234619 15.008464
    Unten rechts KachelX + 1 19046 KachelY + 1 15002 0.51043211 0.26194711 29.245606 15.008464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26213231-0.26194711) × R
    0.000185199999999996 × 6371000     		dl = 1179.90919999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26213231-0.26194711) × R
    0.000185199999999996 × 6371000     		dr = 1179.90919999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51024036-0.51043211) × cos(0.26213231) × R
    0.000191750000000046 × 0.96583960615429 × 6371000     		do = 1179.90757208291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51024036-0.51043211) × cos(0.26194711) × R
    0.000191750000000046 × 0.965887582431099 × 6371000     		du = 1179.96618178572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26213231)-sin(0.26194711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96583960615429-0.965887582431099)×R²
    abs(0.51043211-0.51024036)×4.79762768093028e-05×R²
    0.000191750000000046×4.79762768093028e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.79762768093028e-05×40589641000000     		ar = 1392218.38049335m²